おもりを2倍にしたら、ばねの長さも2倍になる。
こう考えて間違えたときは、比例の計算をやり直す前に、「何の長さを見ていたか」を確かめましょう。ばねの問題では、全体の長さとのびを分けます。
ばねののび＝全体の長さ−自然長
何もつるしていないときの長さが10cmのばねがあります。20gのおもりをつるすと、長さは14cmになりました。
このとき、のびは14cmではありません。
14－10＝4cm
もとの長さから増えた4cmが、のびです。図を描くなら、もとの10cmと、増えた4cmを分けて書きましょう。
2倍にするのは、のびのほう
同じばねに40gのおもりをつるします。ばねののびがおもりの重さに比例する範囲で考えます。
20gで4cmのびるので、40gでは8cmのびます。ただし、聞かれているのがばね全体の長さなら、ここで計算は終わりません。
10＋8＝18cm
14cmを2倍にした28cmではありません。もとの10cmまで2倍にしてしまうと、ばねそのものの長さが変わったことになります。
表に「のび」の行を足してみる
表に、おもりの重さとばねの長さしか書かれていないときは、もとの長さを引いた「のび」の行を作ってみてください。
| おもりの重さ | ばねの長さ | のび |
|---|---|---|
| 0g | 10cm | 0cm |
| 20g | 14cm | 4cm |
| 40g | 18cm | 8cm |
重さが2倍になったとき、どの数が2倍になっていますか。表を自分で作ると、比例している量を確かめられます。
グラフも、縦軸から読む
横軸がおもりの重さでも、縦軸が「ばねの長さ」なのか「ばねののび」なのかで、グラフの位置は変わります。
この例なら、おもり0gのとき、長さは10cm、のびは0cmです。直線だからすぐ比例と決めず、何を表す直線なのかを読みましょう。
最後に、答えの単位だけでなく、求めたものの名前も確かめてください。「8cmのびる」と「長さが18cmになる」。この二つを言い分けられれば、計算の意味も整理できています。
編集補足：自然長が表にないときは、長さの差を先に使う
以下は、ばねの全長とのびを区別する自作例題です。おもりを外すともとの長さへ戻り、のびが加えた力に比例する範囲だけを扱います。ばね自身や取り付け部分の重さは計算に入れないモデルです。重すぎるおもりをつけた場合まで、この比例を広げるものではありません。
表に0gの記録がないと、自然長をどこから読むか迷うことがあります。そんなときは、二つの測定値の差を見ます。全長には同じ自然長が含まれているため、差を取れば、その分が消えてのびの増加分だけを取り出せます。
例題1：自然長が書かれていない表
同じばねに30gのおもりをつるすと全長は14cm、50gのおもりでは18cmでした。のびがおもりの重さに比例するとします。このばねの自然長は何cmですか。
8cmです。 おもりが20g増えたとき、全長は4cm増えています。自然長は変わらないので、のびが4cm増えたことになります。10g当たりでは2cmのび、30gによるのびは6cmです。14−6＝8cmが自然長です。
50gの記録でも、のびは10cmで、18−10＝8cmと確かめられます。14÷30と18÷50を計算して比が合わないから比例ではない、と判断してはいけません。比例するのは全長ではなく、自然長から増えた部分だからです。
表に「重さの差20g」「長さの差4cm」を書いてから、1gまたは10g当たりへ戻します。いきなり全長をおもりの重さで割る計算と、何が違うかを言葉でも説明してみてください。
例題2：同じ力で引けば、二本の全長も同じ？
ばねAの自然長は8cmで、20gのおもりによるのびは4cmです。ばねBの自然長は12cmで、20gのおもりによるのびは2cmです。それぞれへ40gのおもりをつるします。全長とのびを比べてください。
全長はどちらも16cmですが、のびはAが8cm、Bが4cmです。 Aは8＋8＝16cm、Bは12＋4＝16cmです。同じ全長になったからといって、同じだけのびたわけではありません。自然長が異なるためです。
反対に、同じ重さをつるしたら、どのばねでも同じだけのびるとも言えません。比例の関係は、まず同じばねについて成り立つ条件です。別のばねへ替えたら、そのばねの記録を使って計算し直します。
全長のグラフは、原点を通らなくてもよい
横軸が力に対応するおもりの重さ、縦軸が全長なら、0gのときにも自然長が残ります。グラフは縦軸の0cmより上から始まります。これを見て「直線ではない」と言うのではなく、原点を通る比例のグラフとは違うと区別します。
一方、縦軸をのびに変えれば、0gでのび0cmとなります。同じ測定を描いていても、縦軸の意味を変えると出発点が変わるのです。問題のグラフから数値を読む前に、縦軸の「長さ」「のび」のどちらに丸を付けるか決めてください。
目盛りの途中を読むときも、自然長を二度足さない
30gと50gの間の40gで全長を求めるなら、この比例範囲では14cmと18cmの中間16cmです。この16cmはすでに全長なので、さらに自然長8cmを加えてはいけません。計算の途中で求めた数字が、全長なのか増加分なのかを確認します。
のびから求める方法でも、40gによるのび8cmに自然長8cmを一度だけ加え、16cmになります。異なる方法で同じ答えになることを検算に使えば、自然長の足し忘れ・二重加算を見つけられます。
比例の範囲は、問題文にある条件として守る
ばねを大きく引き伸ばし過ぎると、単純な比例が使えなくなったり、もとへ戻らなくなったりします。入試の基本問題で計算しやすいのは、比例する範囲という条件を置いているからです。数式ができたことを理由に、どんな重さへも外挿しないようにします。
最後の答案では、「のび8cm」「全長16cm」のように量の名前も書きます。単位はどちらもcmなので、単位が合っているだけでは取り違えを見抜けません。図に自然長と追加分を分けて描くことが、いちばん確実な確認になります。