おもりを少し増やしても、ばねの長さが変わらない。実験が失敗したのでしょうか。巻き線が密着した引張ばねには、引き伸ばし始めるまでに一定の力が必要なものがあります。この力を初張力といいます。中学入試では用語の暗記より、表が最初から比例しているかを確かめる問題として読めます。
普通のばねの問題で使う「力を二倍にすると伸びも二倍」という関係は、条件がそろっている範囲での話です。伸び始める前の力まで含めて比べると、そのまま二倍にはなりません。まず、何g相当の力を超えてから伸びが現れたかを探します。
長さの切片と、力のしきい値を混ぜない
自然長が8cmで、2cm伸びたばねの全長は10cmです。これは縦軸が全長のときに、ゼロから始まらない例です。一方、初張力の問題では縦軸を伸びにしても、力が小さい間はゼロのままの区間ができます。「原点を通らない」だけでは、何を引けばよいかは決まりません。
この原稿では、力をg重で表します。1gのおもりにはたらく重力と同じ大きさの力が1g重です。ばね自身の重さは無視し、伸び始めた後は、一定の力を加えるごとに同じだけ伸びる模型を使います。実際の製品の使用限界を示すものではありません。
例題1 表から初張力を逆算する
ある引張ばねに加える力が40g重のとき伸びは2cm、60g重では4cmでした。伸び始めた後の関係は直線で表されます。伸び始める力と、90g重を加えたときの伸びを求めてください。
答え・解説： 伸び始める力は20g重、90g重での伸びは7cmです。力が20g重増えると伸びが2cm増えるので、1cm当たり10g重です。40g重で2cm伸びる分に使われる力は20g重。その前に必要な力は40－20＝20g重です。90g重では（90－20）÷10＝7cmとなります。
差を取ると、最初の力が消える
40と60の比から、伸びの2と4を比べようとすると一致しません。ところが、力の増加20と伸びの増加2なら、直線部分の傾きがわかります。一定の「最初の分」がある関係では、値そのものの比より増えた分の比が役立ちます。料金表の基本料金に似ていますが、ばねでは力がしきい値以下のときに巻き線が開かないという物理的な意味があります。
例題2 自然長と初張力の両方がある
例題1のばねの自然長は8cmです。全長を13cmにするには何g重で引けばよいですか。また、10g重で引いたときの全長を、この模型で答えてください。
答え・解説： 13cmにするには70g重、10g重なら全長8cmです。必要な伸びは13－8＝5cm。伸ばす分の力50g重に初張力20g重を加え、70g重となります。10g重は伸び始める力より小さいので、伸びはゼロです。（10－20）÷10＝－1cmとして全長7cmとするのは誤りです。直線の式は、伸び始めた後の範囲にだけ使います。
グラフの延長と実際の範囲を分ける
直線を左へ延ばせば、負の伸びを描けます。しかし、グラフ上に線を引けることと、現物がその通りに変わることは別です。例題のばねは、弱く引いたから自然長より縮むわけではありません。0から20g重までは伸びゼロ、その先では右上がり、という二つの部分をつなぎます。
測定表に40g重以上しか載っていない場合、初張力20g重は直線部分から推定した値です。低い力での実測がなければ、ぴったりその値から伸びると測定で確かめたことにはなりません。問題文が模型を指定している場合に、その規則として答えます。実験結果を説明する際には、測定した値と延長して求めた値を分ける習慣をつけましょう。
自然長を引く操作は、全長を伸びに直す操作。初張力を引く操作は、加えた力から伸びを生む部分を取り出す操作です。単位もcmとg重で違います。この二つを図の別の場所に書き込めれば、少し変わったばねの表でも落ち着いて整理できます。
おもりを戻した記録も別に読む
力を増やしたときの表と、力を減らしたときの表が両方あるなら、同じ力で同じ伸びに戻るかを確認します。戻らない場合、今回の一本の折れ線模型だけでは説明できない変化が含まれます。単純に二つの表を混ぜて平均する前に、加えた順序という条件が違うことに気付きたいところです。
力の差が同じなのに伸びの差が揃わなくなる範囲も、直線の規則を延長してよい範囲から外れます。例題の90g重は、直線関係が続くという設定に基づく値です。表が60g重までしかなく、先の関係が何も指定されていない実測なら、90g重の値は予測にとどまります。グラフを延ばした値には、実測点と区別した印を付けると、何を確認済みとしているかが見やすくなります。