一本のばねを半分の長さに切り、同じおもりをつるします。短くなったから、のびやすくなるのでしょうか。一様なばねを理想化した模型では、同じ力に対するのびは半分になります。自然長が半分になることと、のびが半分になることを、別々に説明します。
ここで扱うばねは、材質、線の太さ、巻き方が全体で同じです。ばね自身の重さと端の加工の影響を無視し、弾性の範囲で使います。実物を切って実験する作業を勧める記事ではなく、中学入試の条件として与えられた関係を読むための模型です。
元の一本を、二つの部分に分けて考える
元のばねへ100gのおもりをつるすと、全体が6cmのびるとします。中央で上下二つの部分に分けて見れば、どちらの部分も同じ100g相当の力を受けています。上下でおもりの重さを50gずつ分担しているのではありません。
一様で同じ長さの二つの部分なら、それぞれのびは3cmです。上下をつないだとき、3＋3＝6cmになっています。一方だけ取り出して同じ100gをつるしても、その部分ののびは3cmという考え方です。
この見方なら、切ったから材質が変わるという説明は必要ありません。元から一本の中で同じ力を受けていた部分を、別に取り出して比較しているだけです。
のびは使う長さに比例し、硬さは逆になる
この理想化では、元の3分の1の長さなら、同じ力でのびる量も3分の1です。長いばねはのびる部分が多く、短いばねは少ないと考えます。一本のばねの途中を分けるのであって、巻き方の異なる別製品を長さだけで比べているわけではありません。
同じのびにするための力は逆です。半分に切った部分を元と同じ6cmのばしたいなら、元の2倍の力が必要です。「同じ力でのびを比べる」と「同じのびにする力を比べる」で、比が逆になる点を確かめます。
元の長さを半分にしたから自然長も半分ですが、これはおもりを付ける前の長さです。付けた後の長さは、その短い自然長へ、その部分ののびを加えて求めます。
切った二本を並列にすると、さらに分担する
半分に切った二本を横に並べ、同じ高さで一つのおもりを支える場合を考えます。左右が等しく支える条件なら、一本あたりの力は全体の半分です。
短くしたことで同じ力でのびる量は半分になり、さらに受け持つ力も半分になります。元の一本で6cmのびるおもりなら、半分の二本を並列にした装置ののびは1.5cmです。二回の「半分」が、それぞれ何を表すかを書き分けます。
ただし、左右の自然長や硬さが違えば単純な半分分担にはなりません。今回は同じばねを等しく二分し、水平な軽い板を両側から支えるなど、左右対称の設定にしています。
例題1：三分の一の部分の長さ
自然長24cmの一様なばねは、120gのおもりで9cmのびます。ばねを自然長で三等分し、その一本に同じ120gをつるしました。のびと、おもりを付けた後の長さを求めましょう。
答え・解説： のび3cm、長さ11cmです。三分の一の部分は、同じ力なら9÷3＝3cmのびます。自然長は24÷3＝8cmなので、長さは8＋3＝11cmです。元の全長33cmを三等分しても、この条件では11cmになり、検算できます。
ただし、何でも付けた後の長さを割ればよいと覚えないでください。別の重さをつるす場合には、のびの方だけ重さの比で直す必要があるからです。
例題2：半分の二本で全体を支える
自然長20cmの一様なばねは、100gで8cmのびます。自然長で二等分した二本を並列にし、軽い水平な板に載せた100gを等しく支えます。二本それぞれののびと長さを求めましょう。
答え・解説： のび2cm、長さ12cmです。半分の一本は100gなら4cmのびますが、並列では50gずつ支えるため、のびは4×50÷100＝2cmです。自然長10cmに加えて12cmとなります。
8÷2＝4cmで止めたなら、ばねを切った変化だけを計算しています。おもりを二本で支える変化がもう一つあります。短くした倍率と、力の分担の倍率を別の行に残しましょう。
どこまで使える規則かを読む
実物では巻き始めや端の固定部分の形、初めから掛かる張力、ばね自身の重さなどが影響します。長さだけが同じでも異なるばねののびは決まりません。問題が一様なばね、重さを無視、のびは力に比例という条件を与えたときに、この部分ごとの考え方を使います。