振り子では、おもりを重くしても往復時間がほぼ変わらないと学びます。それなら、ばねにつるしたおもりでも同じでしょうか。「揺れる」という見た目が共通でも、元の位置へ戻す仕組みが違えば、成り立つ規則も違います。
ばねのおもりを上下させる問題は、公式を先に知っている人だけの問題ではありません。中学入試の資料問題なら、質量と時間の表を読み、規則の使える範囲を確かめて考えられます。本稿では、ばね自体の質量や空気の抵抗を無視でき、適度に小さく振動する理想的な模型を使います。
伸びて静止する位置を出発点にする
おもりをつるして静かに止まった位置では、重力とばねの上向きの力がつり合っています。そこから少し下へ引いて離すと、ばねの引く力が増して、おもりをつり合いの位置へ戻す向きに働きます。上へ行き過ぎると、今度は下へ戻す向きの力が生まれます。
この「つり合いの位置」は、ばねに何もつるさないときの端の位置とは違います。図で自然長の端を中心に上下対称の振動を描いてしまうと、どこからどれだけ動いたかがずれます。まず静止位置へ横線を引き、その上下の動きを追います。
ばねが伸びやすいかどうかと、つるした質量は別の条件です。同じ質量でも戻す力が強いばねなら往復は速くなる傾向があります。一方、同じばねでは大きな質量ほど動きの変化がゆっくりになり、往復時間は長くなります。
二乗の規則は時間そのものではない
今回の資料では、「同じばねの一往復の時間を二乗した数は、おもりの質量に比例する」とします。時間二秒なら二乗は四、四秒なら十六です。時間が二倍になると二乗は四倍になるので、質量四倍に対応する時間は二倍になります。
質量二倍から時間二倍とはできません。また、質量四倍で時間も四倍とすると、時間の二乗は十六倍になり、資料の規則と合わなくなります。複雑な平方根の計算を避けた問題なら、四倍、九倍、四分の一など、二乗しやすい比を探すと考えやすくなります。
例題1｜100gから400gへ変える
同じばねで100gのおもりが20往復するのに16秒かかりました。上の二乗の規則が成り立つとして、400gのおもりの一往復の時間と20往復の時間を求めてください。
答え・解説： 100gでは一往復16÷20＝0.8秒です。質量が四倍なので時間は二倍、400gでは1.6秒。20往復には1.6×20＝32秒かかります。先に一往復へ直すと、表の時間が何往復分なのかを取り違えにくくなります。
一番下から一番上までを一往復と数えないことも重要です。下端を出て上端へ行き、下端へ帰って初めて一往復です。始めの下端を「一」と数えてしまうと、二十という声の時点で十九往復しかしていないことがあります。
ばねも変えるなら比較を二段階に分ける
資料に「時間の二乗は、質量をばねの硬さで割った値に比例する」と追加されたとします。ここでいう硬さは、同じ伸びを作るために必要な力で定義します。硬さが二倍なら、同じだけ伸ばすのに二倍の力が必要です。
質量と硬さを同時に変える場合、質量だけを見ると時間の変化を誤ります。質量四倍、硬さ四倍なら、質量÷硬さは同じです。重いおもりでも同じ周期になる組合せがあり、質量の大小だけから順位は決まりません。
例題2｜重くして、ばねも硬くする
100g・硬さ1の組合せの一往復は0.8秒です。900g・硬さ4の組合せでは何秒ですか。硬さ以外のばねの条件は理想模型として無視します。
答え・解説： 質量÷硬さの比は9÷4＝9/4なので、時間の比は3/2です。一往復は0.8×1.5＝1.2秒になります。質量九倍だけを見て三倍の2.4秒とするのも、硬さ四倍を時間四分の一とするのも、二乗の規則を外した計算です。
実験表が模型から外れたとき
軽いおもりでばね自体の質量が無視できなくなれば、単純な質量比だけでは合わない場合があります。大きく引きすぎてばねの性質が変わる、摩擦で振動が弱まる、といった条件も確認します。測定値が少し違うたびに「表が誤り」と決める必要はありません。
比較の記録には、おもりの質量、ばねの種類、数えた往復数、測定した全時間を残します。振り子の知識を捨てるのではなく、振り子に成り立つ条件を別の装置へ無断で移さない。初めて見る規則を読むときにも、この区別が役立ちます。
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