振り子の一往復の時間は、糸を長くすると長くなります。では、同じ振り子を重力の違う場所へ持って行ったらどうでしょう。長さが同じだから同じ時間、と答える前に、「ほかの条件は同じ」という前提が残っているかを確認します。
中学入試では、地球以外の場所を題材に、知らない関係を読み取らせることがあります。ここでは具体的な天体の重力を覚える必要はありません。小さな振れ幅の単純な振り子について、「一往復の時間の二乗は、振り子の長さに比例し、重力の強さに反比例する」という規則が与えられたとして考えます。
比べる量を三つに分ける
振り子の長さ、重力の強さ、一往復の時間。この三つを同じ表の別の列に書きます。重力の強さは、同じ物体にはたらく重力を場所によって比べた値です。おもりそのものの質量を増やしたこととは違います。同じ場所でおもりを二倍にしても、ここでいう重力の強さを二倍にした実験にはなりません。
規則を比で使うと、時間の二乗の倍率は「長さの倍率÷重力の倍率」です。求めた数が4なら時間は2倍、9なら3倍です。二乗した時間と時間そのものを取り違えるのが、この題材の一番大きな落とし穴です。
例題1 重力が四分の一の場所
場所Aで一往復が2秒の振り子を、長さを変えずに場所Bへ移しました。Bの重力の強さはAの四分の一です。小さい振れ幅で上の規則が成り立つとき、Bでの一往復と10往復の時間を求めてください。
答え・解説： 一往復4秒、10往復40秒です。長さは同じなので、時間の二乗は1÷（1/4）＝4倍。時間は2倍になります。2×4＝8秒とするのは二乗の段階を飛ばした答えです。また、4秒は片道ではなく、出発した側へ戻る一往復の時間です。
時計を同じ速さで動かすには
重力が弱い場所で長さをそのままにすると、振り子はゆっくり往復します。同じ周期に戻すには、長さを短くして調整します。「弱いから長くする」と雰囲気で決めず、長さ÷重力の値を元と同じにする、と考えれば方向を間違えません。実際の時計の仕組み全体ではなく、振り子部分だけの模型です。
例題2 長さも重力も変える
場所Aで長さ80cm、一往復2秒の振り子があります。重力の強さがAの四分の一の場所Bで、一往復を同じ2秒にしたいとき、長さは何cmにしますか。さらにBで長さを180cmにした場合、一往復は何秒ですか。
答え・解説： 同じ2秒にする長さは20cmです。長さも重力も四分の一なら、その比は同じになります。Bの20cmで2秒を基準にすると、180cmは9倍の長さです。時間は3倍なので6秒です。Aの80cmから直接比べても、長さの倍率9/4を重力の倍率1/4で割ると9になり、同じ結果です。
測定するときは往復の数をそろえる
一往復だけを測ると、手で時計を押すタイミングの差が大きく見えます。何往復かまとめて測り、回数で割ると一往復を求められます。ただし、10回という記録が「10往復」なのか「中央を10回通過」なのかは別です。中央は一往復で二度通るので、数え方の説明を読み落とせません。
この規則は、細い糸に小さなおもりを付けた模型で、振れ幅が小さいときの近似です。大きく振らせた場合まで全く同じとは扱いません。長さも糸の見える部分だけでなく、支点からおもりの中心までとして指定されることがあります。問題で長さがどう定義されているかを先に読みます。
答案には「時間は重力に反比例」と省略せず、「時間の二乗が反比例」と書きましょう。四分の一から二倍を導く途中を残すことで、覚えた天体の知識ではなく、与えられた条件を使って解いたことが伝わります。
長さを変えたのか、場所を変えたのか
二つの実験を一つの表にするときは、基準となる場所と長さを一行目に置きます。次の行で重力だけを変え、その次で長さを調整する、と段階を分ければ、二つの倍率を同時に暗算する必要がありません。例題2でBの20cmを一度求めたのも、その場所だけで長さを比較できる基準を作るためです。
一往復を短くする変更には、長さを短くする方向と、重力を強くする方向があります。両方を同時に変えれば効果が重なる場合も、打ち消す場合もあります。「短いから速い」という一つの情報だけで順位を付けず、長さと重力の比を全ての候補でそろえて比較します。選択肢が時間の二倍、四倍などになっていたら、途中で求めた二乗の倍率をそのまま選んでいないか、最後にもう一度確認します。
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