「糸の長さを同じにしたので、振り子の長さも同じです」
この説明は、いつでも正しいでしょうか。
同じ大きさのおもりを、同じ方法で取り付けたのなら、それでそろうことがあります。ところが、おもりを大きなものに替えた場合は、糸が同じ長さでも、振り子の長さが変わることがあります。
見てほしいのは、糸の端ではなく、おもりの中心です。
どこから、どこまで測るのか
ここでは、軽い糸に小さな球形のおもりをつるす、基本的な振り子を考えます。おもりの材質は均一とします。
振り子の長さは、支点からおもりの中心までの長さです。金沢工業大学の実験教材
支点は、糸を固定している場所。そこから、おもりの上端で止めず、中心までたどります。
問題の図に「20cm」とあっても、すぐに振り子の長さと決めないでください。矢印がどこからどこまで引かれているかを見ます。
糸が20cmなら、振り子も20cm？
例えば、支点から球の上端までが20cmで、球の半径が1cmだったとします。糸と球の中心が一直線に並ぶ取り付け方です。
このとき、支点から中心までは、20＋1＝21cmです。
球を半径2cmのものに替え、支点から球の上端までを同じ20cmにすると、中心までは22cmになります。
どちらも糸の部分は20cm。でも、振り子の長さは同じではありません。
逆に、図の20cmの矢印がすでに中心まで届いているなら、半径を足す必要はありません。「球があるから足す」と覚えるのではなく、示された長さの終点を確かめましょう。
重さだけを変えたつもりでも、長さが変わる
振り子のおもりを重くすると、1往復する時間は変わるでしょうか。
このことを実験で調べるなら、重さ以外の条件をそろえます。振り子の長さや、振らせ始める角度などです。
ところが、大きくて重い球に交換し、糸の長さだけを同じにすると、おもりの中心の位置が変わることがあります。
それで時間に違いが出ても、「重くしたから」とは決められません。振り子の長さも変わっているからです。
おもりを交換したら、支点から中心までを測り直す。実験の図を見るときにも、この一手間を思い出してください。
同じ長さにするなら、どこを直す？
先ほどの例で、半径2cmの球を使いながら、振り子の長さを21cmにそろえたいとします。
支点から球の上端までを何cmにすればよいでしょうか。
21−2＝19cmです。
糸の部分を20cmのままにするのではなく、19cmに調整すれば、支点から中心までが21cmになります。
「同じ条件にする」とは、見た目の同じ場所をそろえることではありません。調べたい運動に関わる長さをそろえることです。
まず、長さの矢印を一本描こう
振り子の問題で「長さを同じにした」と書かれていたら、支点からおもりの中心まで、図に線を引いてみてください。
糸の長さなのか。おもりの中心までなのか。
計算を始める前にそこが分かれば、半径を足す場面も、糸を短くする場面も整理できます。
※本稿は、軽い糸と小さな球形のおもりを使う基本問題を対象にしています。棒などの物体そのものを振らせる場合には、そのまま当てはめられません。
振り子の1往復はどこからどこまで？｜片道と10往復の時間を整理しよう
編集補足：長さの矢印を、必ず中心まで引く
ここからは球形のおもりを使った基本模型の自作例題です。糸は軽く伸びないものとし、支点・球の上端・球の中心が一直線に並ぶ取り付け方を考えます。実物の結び目や金具の形が違う場合は、糸に書かれた数字だけでなく、支点から中心を実際に測る必要があります。 模式図では、支点から球の上端までの部分を青、上端から中心までの半径を橙で示しました。二つを合わせた矢印が、振り子の長さです。すでに支点から中心までの値が与えられている図なら、そこへさらに半径を足す必要はありません。どこまで測った値かを最初に読むことが、計算そのものより大切です。
例題1：半径ではなく直径が書かれている
支点から球の上端までの長さが28cmで、均一な球のおもりの直径が4cmです。この振り子の長さを求めてください。また、直径6cmの球へ替えたとき、振り子の長さを同じに保つには、支点から球の上端までを何cmにしますか。 答え：振り子の長さは30cm、交換後の上端までの長さは27cmです。 最初の球の半径は4÷2＝2cmなので、28＋2＝30cmです。新しい球の半径は6÷2＝3cmで、30−3＝27cmにします。直径4cmをそのまま足して32cmとしないようにします。 新しいおもりが大きくなるのに、糸の部分を短くするという結果は自然です。中心までの距離を固定したいので、球の上端から中心までの部分が長くなった分を、糸の部分で減らしています。図に30cmの全体の矢印を先に描けば、引き算の意味を確かめられます。
例題2：重さの影響だけを調べられる組は？
次の三つの振り子を同じ小さな角度から振らせるとします。Aはおもりの重さ20g、支点から中心まで30cm。Bは40g、中心まで30cm。Cは40g、中心まで35cmです。おもりの重さによって往復時間が変わるかを調べる比較として、AとB、AとCのどちらが適切ですか。 答え：AとBです。 重さだけを変えるため、振り子の長さと振らせ始める条件をそろえます。AとCでは重さに加えて長さも変わるので、時間の違いが出たとしても、その原因を重さだけに決められません。 この例では、比較に必要な長さを最初から中心までの値で示しています。おもりが重い方は必ず大きいはずだと考えて、勝手に球の半径を加える必要はありません。問題文にない寸法を想像して足すと、与えられた条件を変えてしまいます。 小さな振れ角の単純な振り子では、往復時間を比べるときに長さが重要で、おもりの重さでは変わらないという基本を学びます。ただし、実験記録にわずかな差が出たら、すぐその知識を否定するのでも、数値を無視するのでもありません。長さのそろえ方、振らせた角度、数えた往復数、時計の操作を確かめます。 三つの条件を表に並べると、同じにしたつもりの項目が本当に同じかが見えます。特に「糸は同じ」という記述だけでは、おもりの中心までが同じかは未確認です。測る始点と終点を言葉にしてから、図のどこにその長さが書かれているかを探してください。 この頁の長さの扱いは、小さな球のおもりを軽い糸でつるす基本問題に限っています。長い棒や大きく広がった物体そのものを振る場面では、見えている長さだけを同じ式へ代入しません。何を振り子とする模型なのかまで確認することが、条件整理の最後の一手になります。