振り子の糸が途中でくぎに掛かると、片側だけ短い振り子として動きます。このとき、長い振り子と短い振り子の周期をそのまま足すのではありません。一往復のうち、長い状態で動くのはどの部分か、短い状態で動くのはどの部分かを分けます。中学入試では、見た目の左右の幅より、時間を数える区間が大切です。
くぎに掛かると、回転の中心が変わる
糸の固定点Oの真下に、くぎPがある装置を考えます。左側では糸はOからまっすぐ伸びており、おもりはOを中心に動きます。最下点を通って右側へ進むと糸がPに掛かり、右側ではPからおもりの中心までが有効な長さになります。糸全体の長さが切れて短くなったのではなく、動く部分の中心が切り替わっています。
以下では糸とくぎの太さ、摩擦、空気抵抗を無視し、糸はたるまないとします。左右とも振れの角度が小さく、同じ長さの単振り子の周期を利用できる条件です。大きく振らせてくぎに巻き付けるような運動まで、この計算を広げることはしません。長さはどちらの場合もおもりの中心まで測ります。
一往復を四区間へ切る
左端Aから出発し、最下点C、右端B、最下点C、左端Aへ戻る順番を紙に書きます。AからCは長い振り子の四分の一周期、CからBは短い振り子の四分の一周期です。戻りも同じ組合せです。したがって、長い振り子の半周期と、短い振り子の半周期を足せば一往復になります。
右端へ着いた時点は、まだ元の左端へ戻っていません。一方、最下点を二度通過したから二往復という数え方でもありません。位置と向きの両方をそろえて、一回の動きの始まりと終わりを決めます。くぎのある図でも、周期の定義そのものは普通の振り子と変わりません。
例題1｜二つの周期が与えられている場合
くぎに掛からない長い振り子の周期は2.4秒、くぎに掛かった状態と同じ長さの短い振り子の周期は1.2秒です。左端から出発して右へ振れ、再び左端へ戻るまでの時間を求めましょう。
答え・解説： 長い状態で動く時間は2.4÷2＝1.2秒、短い状態では1.2÷2＝0.6秒です。合計は1.8秒です。四区間で書くと、0.6＋0.3＋0.3＋0.6＝1.8秒となります。2.4＋1.2＝3.6秒では、各長さで一往復ずつ動いたことになってしまいます。
左右の端までの道のりが違っても、単純に長さの比で区間時間を割り振りません。振り子の速さは途中で変わり、長いときと短いときでは運動も違います。今回使えるのは、問題で与えられたそれぞれの周期です。長い糸が短い糸の何倍かという情報だけで、時間も同じ倍率と置かないことが重要です。
例題2｜記録から短い側の周期を戻す
同じ仕組みの別の装置で、くぎに掛からない振り子の周期は2.0秒でした。くぎを付けると、一往復が1.6秒になりました。くぎに掛かった状態と同じ長さの単振り子の周期は何秒でしょう。小さな振れとして扱います。
答え・解説： 一往復1.6秒のうち、長い状態の時間は2.0÷2＝1.0秒です。残りの0.6秒が、短い振り子の半周期に当たります。したがって求める周期は0.6×2＝1.2秒です。1.6－2.0という引き算をすると、長い振り子一往復分を引き過ぎます。
もし装置の一往復を10回測った値が16秒なら、まず16÷10＝1.6秒へ直してから同じ計算をします。測定した回数を途中で忘れると、くぎの影響よりはるかに大きな違いが出てしまいます。記録欄に「装置全体の10往復」「一往復」「短い側の半周期」を別々に置くと、どの数字を使っているかを確認できます。
高さと振れ幅を、周期と混ぜない
摩擦などで失うエネルギーを無視すれば、左右の端のおもりは同じ高さまで上がります。ただし、回転の中心が違うので、糸の傾きや横方向の振れ幅まで同じになるとは限りません。短い側の角度は大きくなりやすいため、両側を小振幅とする条件を保つには、初めの振れも十分小さくする必要があります。
答案では「くぎがあるから速い」とだけ書くより、右側では有効長が短くなり、その側の区間時間が短くなる、と説明しましょう。最後に一往復の経路をもう一度なぞります。左の四分の一、右の四分の一、右の四分の一、左の四分の一。この並びを作れると、途中で装置の条件が変わる問題でも時間を落ち着いて足せます。
関連する記事でつなぐ
振り子の1往復はどこからどこまで？｜片道と10往復の時間を整理しよう