ジェットコースターの速さは、まず高さを見る
中学受験理科専門講師・木ノ下翔が、振り子とジェットコースターの図を使って、位置エネルギーと運動エネルギーの考え方を解説します。
速さを比べる問題でも、最初に見るのは高さです。同じ物体が動き、摩擦や空気抵抗などによってエネルギーが失われないとき、同じ高さにある地点では速さも同じになります。
下りの途中のBと、上った先のD。どちらが速い？
動画では、高い地点Aから動き始めた物体が、Bを通って最も低いCへ下り、その後Dへ上る図を使います。BとDは同じ高さです。
「下っているBのほうが速そう」「Dまで進むうちに遅くなりそう」と、進む向きや道のりに目が向くかもしれません。ここで、BとDを結ぶ水平な線を引いてみます。同じ高さにあることが、図ではっきりします。
位置エネルギーを先に比べる
基準となる面から高い場所にある物体は、位置エネルギーをもっています。同じ物体なら、高さが高いほど位置エネルギーは大きくなります。一方、動いている物体がもつのが運動エネルギーです。
今回の条件では、位置エネルギーと運動エネルギーの和は一定です。位置エネルギーが減った分だけ、運動エネルギーが増えます。速さを直接求めようとする前に、高さから位置エネルギーを比べると整理できます。
- BとD：同じ高さなので位置エネルギーが等しく、運動エネルギーも等しい。したがって速さも同じ。
- C：最も低く、運動エネルギーが最も大きい。4点の中で最も速い。
- A：最も高く、4点の中で最も遅い。静かに放す瞬間なら速さは0。
速い順に並べると、C ＞ B ＝ D ＞ Aとなります。
振り子でも、同じ考え方が使える
動画の前半では、振り子を使ってこの関係を説明しています。最も低い位置を高さの基準とし、最も高い位置での位置エネルギーを仮に100とおきます。最も高い位置では一瞬止まるので、運動エネルギーは0。最も低い位置では位置エネルギーが0、運動エネルギーが100です。
高さが半分の地点なら、位置エネルギーは50、運動エネルギーも50となります。ここでいう半分は鉛直方向の高さです。振れた角度や、円弧に沿って進んだ距離の半分ではありません。100や50は関係を考えるために置いた値です。
使える条件まで確かめる
この説明では、同じ物体について、摩擦・空気抵抗・ブレーキなどによるエネルギーの損失を考えていません。高さは共通の基準面から測ります。問題文に摩擦やエネルギーの損失が書かれている場合は、その条件を加えて考える必要があります。
まず条件を確認し、図に同じ高さの線を引く。そして、位置エネルギーから運動エネルギーへ順に考える。答えだけでなく、最初に何に着目するかを確かめてみてください。
解説：木ノ下翔
中学受験理科専門講師。「学問のすすめ 大和西大寺教室」での指導と、解説動画サービス「理科の伴走」を通じて、中学受験の理科学習を支えています。
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編集補足：出発の条件が違えば、同じ高さでも比べ直す
以下は板書解説の考え方を使う自作例題です。動画で扱った問題の再現ではなく、「同じ高さなら同じ速さ」と言える条件を確認するためのものです。物体は同じ質量で、レールとの摩擦や空気抵抗、回転によるエネルギーを考えない模型とします。 模式図では、基準面から80cmのAで物体を静かに放し、途中のBとDをともに30cm、最下点Cを0cmとしました。Bが下り側、Dが上り側でも、同じ物体が同じ出発条件で移動しているなら、高さの減った分が等しくなります。進んだ距離の長短を、エネルギーの減少へそのまま置き換えないようにしましょう。
例題1：高さの図から速い順に並べる
図のAから静かに放した物体が、B、C、Dの順に進みます。Aは80cm、BとDは30cm、Cは0cmの高さです。四点での速さを大きい順に並べてください。また、BとDで進む向きが違うことは、速さの比較を変えますか。 答え：C、BとD、Aの順で、BとDは同じ速さです。 Aでは放す瞬間なので速さは0です。Cでは高さの減少が最も大きく、運動エネルギーが最も大きくなります。BとDではAから下がった高さがともに50cmなので、運動エネルギーも同じです。同じ物体なら速さも同じになります。 進む向きはBとDで違っていて構いません。ここで比べているのは、向きを含めない速さの大きさです。また、AからBへ減った高さが50cmだから速さも50という数字になるわけではありません。高さは長さ、速さは単位時間に進む距離であり、違う量です。この設問は数値の速さではなく順序を求めています。
例題2：低い出発点から動かす別の物体
同じ模型で、もう一つの同じ質量の物体を、高さ50cmのEから静かに放しました。二つの物体がそれぞれ高さ30cmの地点へ来たとき、Aから放した方とEから放した方では、どちらが速いでしょうか。互いに衝突しない別々の試行とします。 答え：Aから放した方が速くなります。 Aからは50cm分、Eからは20cm分だけ高さが減っています。静かに放したので初めの運動エネルギーはどちらも0ですが、初めに持っていた位置エネルギーが違います。30cmという到達点の高さだけをそろえても、そこでの速さは同じになりません。 ここで50÷20＝2.5だから速さが2.5倍、とまでは答えられません。高さの減少に対応するのは運動エネルギーの増加です。運動エネルギーの比と速さの比を同じものとして扱わないようにします。必要な関係が示されていない基本問題では、どちらが速いかを根拠とともに説明できれば十分です。 最初に押してから放す条件へ変わった場合も、静かに放した場合と分けます。同じ高さから出発しても、最初から運動エネルギーを持っていれば、全体のエネルギーは違います。「高さだけ見ればよい」とする前に、何も押さずに放したのか、別の力で速さを与えたのかを確かめてください。 摩擦やブレーキがある場合には、進む途中で機械的なエネルギーが失われる条件を加えて考えます。この模型で往路と復路の同じ高さに引いた横線は便利ですが、その横線だけがどんな問題にも使える答えではありません。どの条件のもとで等しいと言えるのかを説明できて、初めて図を使いこなせます。