揺れていたおもりの振れが、だんだん小さくなる記録を見てください。山の高さが半分になったとき、往復する時間も半分でしょうか。残っているエネルギーも半分でしょうか。同じグラフに表れている変化でも、縦軸と横軸では読んでいる量が違います。
この記事では、ばねにつながれたおもりの小さな振動を例にします。振動の振幅とエネルギーの関係は問題の資料として与え、専門的な式の導出を要求しません。中学入試で初見のグラフに出会ったとき、軸、中心、倍率を分けて考える練習です。
振幅は、端から端の幅ではない
静止しているときの位置を中心とし、中心から端までの最大のずれを振幅とします。右へ4cm、左へ4cm振れるなら振幅は4cmで、両端の間隔8cmとは区別します。グラフの縦軸が中心からの位置なら、上の山が＋4cm、下の谷が−4cmに当たります。
山と谷の差を振幅とした答えは二倍になってしまいます。中心の位置がゼロ以外で表示されている図では、山の読みから中心の読みを引きます。ばねの長さが20cmから28cmまで変わる場合でも、中心が24cmなら振幅は4cmです。縦軸の数値の意味から確認してください。
同じ向きの山の間で一往復を読む
隣り合う上側の山の時刻の差が、一往復の時間です。上側の山から次の下側の谷までは、基本的には半往復です。振れが小さくなっていても、同じ側の山が等間隔に並ぶ記録なら、その範囲では一往復の時間はほぼ一定と読めます。
「小さく振れるから短時間で戻るはず」と図を想像だけで書き換えないでください。振れる道のりが短くなっても、速さも変わり得ます。周期を読みたいときは横方向、振幅を読みたいときは中心からの縦方向へ目を動かす。二つのものさしを持つつもりで見ると混乱が減ります。
エネルギーは振幅の二乗に比例する
同じばねとおもりを用いる小さな振動で、エネルギーが振幅×振幅に比例する規則を使います。振幅が0.8倍なら、エネルギーは0.8×0.8＝0.64倍です。20％小さく振れたから20％のエネルギーが失われた、とはなりません。
ばねに蓄えられるエネルギーと運動のエネルギーは、振動の途中で入れ替わります。端の位置では速さがゼロでも、エネルギー全体がゼロになったわけではありません。ここでは毎回同じ側の端を比べるので、位置からエネルギーの比を読み取りやすくしています。
例題1｜振幅は半分、エネルギーは？
ある振動の振幅が6cmから3cmへ減りました。同じ条件で、エネルギーが振幅の二乗に比例するとき、残ったエネルギーは元の何％ですか。また、減った割合はいくらですか。
答え・解説： 振幅の比は3÷6＝0.5。エネルギーの比は0.5×0.5＝0.25なので、25％残っています。減ったのは100−25＝75％です。「半分になった」のは振幅であり、エネルギーではありません。残存率と減少率も別々に答えます。
例題2｜減衰の記録表から読む
同じ側の山の時刻と振幅が、0秒で8cm、2秒で4cm、4秒で2cmでした。この記録の一往復の時間を求め、0秒から4秒までで残ったエネルギーの割合を答えてください。
答え・解説： 山の間隔は2秒なので、一往復は2秒です。4秒の振幅は最初の2÷8＝四分の一。エネルギーは四分の一を二回掛けて十六分の一、6.25％です。一往復ごとにエネルギーが四分の一になる計算を二回行っても一致します。
小さくなった分を「消えた」と書かない
空気抵抗や支点などとの摩擦によって、振動に関わるエネルギーは熱などへ移ります。測っている振動のエネルギーが減ることと、全体でエネルギーがなくなることは別です。観察の対象を「おもりの振動」に限定した説明だと分かる言葉を添えます。
また、振幅が毎回半分という例題の規則を、すべての振り子やばねへ当てはめないようにします。抵抗の働き方や振れの大きさで記録は変わります。振幅が測定器の読み取り幅より小さくなった場合、「振動が完全に止まった」と「もう読み取れない」も一致しません。最終行が0に見えるグラフほど、目盛りの細かさまで確かめたいところです。
中心がずれていたら、両端から戻す
写真の位置目盛りで右端が14cm、左端が6cmと読めたなら、中心は10cm、振幅は4cmです。最大の読み14を振幅にしないようにします。別の時刻に右端12cm、左端8cmになれば、中心は同じ10cmで振幅は2cmです。このように両端から中心を確認すると、振幅が縮んだのか、装置全体が移動したのかを分けやすくなります。支えが動いた記録では、机の目盛りに対する山の高さだけで振動を比較できません。単純な減衰のモデルを使うには、中心と支えが固定されている条件も必要です。小さくなった山の数字を先に比べず、ゼロにする位置が同じか確認しましょう。