ゴムを伸ばしてから戻すと、力とのびの関係が往きと帰りで重ならないことがあります。同じ長さでも、伸ばしている途中と縮めている途中で力が違うのです。元の長さに戻ることから、与えたエネルギーがすべて外へ戻るとは言えません。
本稿では、ゆっくり伸ばし、ゆっくり戻した模型の力の記録を読みます。力と移動距離のグラフで囲まれる面積を仕事として計算する規則を与え、往きに必要な仕事と帰りに受け取れる仕事を分けます。ゴムの種類や温度による実際の数値を示した実験ではありません。
同じ横の位置に二つの力がある
横軸を自然長からののび、縦軸を力にすると、伸ばす経路と戻す経路を矢印で区別できます。経路が違うなら、一つののびだけを指定して力を尋ねても、どちらの経路か分からない場合があります。グラフの線の色だけでなく矢印の向きも読みましょう。
理想的なばねで、伸ばすときと戻すときが同じ直線を通る模型とは違います。理想ばねの三角形をそのまま二回使わず、与えられたそれぞれの線の下の面積を計算します。面積が仕事を表すことは共通でも、図の形が異なれば数値は変わります。
差のエネルギーは消えたのか
往きに外から与えた仕事より、帰りに外へ戻る仕事が小さいとき、その差は主に内部エネルギーなどへ移ります。エネルギーが消滅したという説明にはしません。ゴムの内部で起こる変化が関係し、繰り返し伸縮させると温度が変わることもあります。
ただし、仕事の差だけから何℃上がるかは計算できません。ゴムの重さ、温まりやすさ、周囲へ逃げた熱などの情報が足りないためです。グラフで求めた仕事と温度上昇は同じ量ではありません。答えの単位がJか℃かを確かめると、資料の足りない飛躍を防げます。
例題1 往復で戻らない仕事
のび〇、五、十cmのとき、伸ばす経路の力がそれぞれ〇、八、十N、戻す経路の力が〇、四、十Nでした。隣り合う点の間は直線です。伸ばす仕事と戻る仕事、その差を求めてください。一Nで一m動かす仕事を一Jとします。
答え・解説： 伸ばす側は最初の五cmで〇・二J、後の五cmで〇・四五J、合計〇・六五Jです。戻す側の面積は〇・一＋〇・三五＝〇・四五Jです。差は〇・二Jです。cmをmへ直して面積を計算します。戻る向きの仕事は、外へ返る量の大きさとして答えています。
例題2 同じ形の往復を繰り返す
毎回同じ経路で伸ばして戻すとします。十往復で外から戻ってこない仕事の合計は何Jですか。伸ばす側の仕事のうち、帰りに戻る割合も求めてください。
答え・解説： 差は一往復〇・二Jなので十往復で二Jです。戻る割合は〇・四五÷〇・六五＝十三分の九、約六十九・二％です。十往復の計算は経路が変わらないという指定によります。実物で温まって経路が変われば、毎回同じ差を掛ける方法は使えません。
グラフの囲み方を確認する
二本の線の間の面積を直接求めても仕事の差になります。最初の五cmでは差が〇から四Nへ増え、次の五cmでは四から〇Nへ減ります。三角形二つの面積がそれぞれ〇・一Jなので、合計〇・二Jです。別の面積の取り方で同じ答えになることを検算に使えます。
同じ横幅を使うからといって、力の最大値の差だけを掛けて長方形にしてはいけません。差が場所によって変わるためです。細長い区間に分けて平均の力を掛けるという意味を思い出すと、三角形や台形を使う理由も理解できます。面積公式を図の中の変化と結び付けましょう。
永久にのびたこととの違い
負荷を取り去った後に元の長さへ戻らない永久変形と、往復で力の経路が異なることは区別します。この図では始点へ戻る条件を与えています。経路のずれがあれば必ず切れる、という説明でもありません。どこまで伸ばしたか、戻した後の長さはどうかを別々に読み、観測された特徴をそのまま言葉にすることが大切です。
台形の仕事を二つの方法で確かめる
のび5 cmから10 cmまで、伸ばす力は8 Nから10 Nへ直線的に増えます。平均の力は9 N、移動距離は0.05 mなので仕事は0.45 Jです。台形公式を使うなら、上底8と下底10を足して半分にし、高さに0.05を掛けます。縦横のどちらを「高さ」と呼ぶかより、力と距離の積になることを確かめる方が確実です。
戻す側の同じ区間では力が10 Nから4 Nへ減るので、平均は7 Nです。外へ戻せる仕事の大きさは0.35 Jになります。戻る方向が左だから面積をそのまま負と答えるのでなく、設問が仕事の符号を求めているのか、返されたエネルギーの量を求めているのかを読み分けます。本稿は後者にそろえています。
もう一つの検算として、二本の線が囲む部分は底辺10 cm、高さ4 Nのひし形状に見えますが、対角線の積の半分を使っても0.10×4÷2＝0.20 Jです。図形として一度に処理するときも、横のcmをmに変えてから計算するところは省けません。
面積の色を塗る場合、戻す線より下も全部塗ってしまうと、それは差ではなく伸ばす仕事全体になります。自分の答案で塗った部分を指し、「これは外から入れた量」「これは返った量」「これはその差」と説明してみてください。二本の曲線があることに惑わされず、比較する二つの面積を具体的に指定できるようになります。