中学受験理科｜歯車を逆回転させた直後の動き｜かみ合いの遊びを読む

ハンドルを右へ回すと目盛りが動きます。そこで左へ戻したのに、最初のわずかな間だけ目盛りが動きません。歯車が壊れたのでしょうか。歯と歯の間に小さなすき間がある装置では、回す向きを変えた直後、反対側の歯面が触れるまで動きが伝わらないことがあります。このすき間による遊びを、ここでは角度の資料から考えます。

歯数の比を使う前に見る部分

普通の歯車の計算では、かみ合った歯が順番に相手を押すことを考えます。入力側が20歯、出力側が40歯なら、入力が一回転する間に出力は半回転します。しかし、この比は動きがきちんと伝わっている区間に使う関係です。向きを逆にした直後の空回りする区間まで、全部を同じ比で換算してよいとは限りません。

本稿の装置では、向きを逆転したとき、入力軸を6度動かすまでは出力軸が止まっているとします。6度を超えた分だけが、歯数の比に従って出力へ伝わります。これは計算のために与えた装置の条件で、すべての歯車に6度の遊びがあるという意味ではありません。

横帯は入力側の逆転角26度。入力の遊びを除いてから、20歯対40歯の比で出力へ換算する。

どちら側の角度かをそろえる

入力が6度空回りするという値を、そのまま出力の角度から引いてはいけません。入力角と出力角は歯数の比で換算される別の量です。まず入力角から遊びを引き、その残りを歯数比で変換します。例えるなら、料金がかからない最初の区間を距離から除いてから、残りに単価を掛けるような順番です。ただし歯車には回転方向もあるので、最後に向きを確認します。

反対に、資料で「出力側に換算した遊びが3度」と指定されていたら、入力側の6度と同じ欄には書きません。図の軸のそばへ入力6度、出力換算3度と添えます。単位がどちらも度だからといって、測っている場所まで同じではないのです。

例題1｜逆転させた分のうち伝わる角度

入力20歯、出力40歯の装置があります。向きを逆にした直後の入力6度分は出力へ伝わりません。入力を逆向きに26度動かすと、出力は何度動きますか。

答え・解説：10度です。 入力のうち動きが伝わるのは26−6で20度です。出力の回転角は20×20÷40で10度になります。26÷2−6とすると7度になりますが、この式では入力側の遊びを出力角から引いており、比べる場所がずれています。外側どうしでかみ合う二枚なら回転方向は互いに逆向きです。

例題2｜途中で止めただけの場合

同じ装置で、一方向へ回している途中に入力を一度止めました。その後、向きを変えずに入力を20度進めます。出力は何度進みますか。また、逆向きに4度だけ動かした場合はどうでしょうか。遊び以外の変形やすべりは無視します。

答え・解説：同じ向きなら10度、逆向き4度なら0度です。 停止しただけでは、押していた歯面が反対側へ切り替わりません。したがって同方向への再開に、毎回6度を引く必要はありません。一方、逆転4度は6度のすき間を埋めきっていないため、出力はまだ動きません。4−6で負の移動量を作るのではなく、伝達が始まる条件に達したかを先に調べます。

往復させれば元の位置に戻るか

入力をある位置から同じ角度だけ進めて戻すと、数字の上では出発点に戻ります。しかし出力側は、向きを変えた時点の遊びを経るため、必ず同じ位置になるとは限りません。正確な位置決めで最後に同じ方向から近づける工夫が使われるのは、このような影響をそろえるためです。計算でも、往路と復路を別の行に書いてから比べます。

グラフが与えられたときは、入力角が変化しているのに出力角が横ばいの区間を探しましょう。その幅が、入力側で見た遊びに相当します。動き出した後の傾きからは歯数比の情報を読めます。横ばいの長さと斜め部分の傾きは、別々の性質を表しています。

「逆転直後」という短い言葉を読み落とすと、よく知っている歯数の問題に見えてしまいます。歯車の数や半径だけでなく、直前にどちらへ回していたかにも印をつけてください。装置の履歴が結果に関係する資料では、同じ位置にあるという情報だけでは動きを決められません。

目盛りを合わせる方向を残す

同じ数字の位置へハンドルを合わせたのに、右から近づけたときと左から近づけたときで出力の位置が違う場合があります。入力の数字だけが一致していても、どちらの歯面が相手へ触れているかが違うからです。操作記録へ「右回りで合わせた」「左回りで合わせた」と一言添える意味は、装置の状態を再現できるようにすることにあります。

遊びをグラフから測るなら、逆転直後に出力が止まっていた入力角の幅を読みます。例えば入力位置が40度から34度まで戻る間に出力が変わらなければ、差の6度が遊びです。出力の縦軸の数値が何度だったかは、この横幅とは関係ありません。縦横の目盛りが異なるグラフを、紙上の線の長さだけで比べないようにしましょう。

すき間は大きければよいというものでも、何もなければ常に理想というものでもありません。実物では部品の誤差や変形などを考えて設計します。本稿で問うのは装置の良し悪しではなく、与えられた遊びが読みへどう現れるかです。歯数比の規則を捨てるのではなく、その規則が使える区間を切り出すことが要点になります。