歯車が四枚あるからといって、隣り合う歯数の比を全部かければよいわけではありません。二枚がかみ合って回る場所と、同じ軸に固定されて一緒に回る場所では、使う関係が違います。中学入試の二段の歯車は、このつながりを読み分ける問題として考えると整理できます。
ここでは、歯が滑らず、軸がたわまず、同じ軸に取り付けた歯車は固定されている模型を扱います。「同じ軸を通してある」だけでは、空回りできる場合もあります。問題文の「固定」という条件を確かめてから、同じ回転数だと判断してください。
かみ合う二枚では、通過する歯の数をそろえる
歯数12のAが歯数36のBとかみ合っているとします。Aが一回転すると12枚分の歯が接触位置を通ります。Bも12枚分だけ動くので、36枚全部が通る一回転の3分の1だけ回ります。Aが速く三回転すると、Bは一回転です。
小さい歯車ほど速い、と見た目だけで決めるより、「一回転で何枚の歯が通るか」を使う方が確実です。同じ時間に接触位置を通る歯の枚数を等しくすると、Aの歯数×Aの回転数＝Bの歯数×Bの回転数になります。これはかみ合っている二枚に使う関係です。
同じ軸の二枚は、歯数が違っても同じ回転数
次にBと同じ軸へ、歯数18のCを固定します。Bが一回転すれば、Cも一回転です。Cの歯数が半分だから二倍速い、とはなりません。中心からの棒が同じ向きへ同じ角度だけ回しているからです。
BとCの間に「同軸・固定」と書き、その下へ回転数を同じ値で並べます。ここには歯数の比をかけません。Bが36枚の歯を一周させる間、Cは18枚の歯を一周させます。通過した歯の枚数が異なっていても、接触していない二枚なら矛盾しません。
Cが歯数54のDとかみ合うと、今度は18対54の逆比を使います。A→Bで3分の1、B→Cで同じ、C→Dで3分の1。結果としてDはAの9分の1の回転数です。真ん中の二枚を一枚の歯車に置き換えてしまうと、この二段階の減速が消えてしまいます。
回転方向は、かみ合う場所だけで反転する
外側の歯どうしがかみ合うと、一方が時計回りなら他方は反時計回りになります。一方、固定された同軸の二枚は、同じ側から見れば同じ向きに回ります。AとBで一度反転、BとCでは変化せず、CとDでもう一度反転します。DはAと同じ向きです。
四枚だから三回反転と数えると間違います。数えるのは歯車の枚数ではなく、外歯のかみ合い箇所です。また、軸の反対側から眺めると時計回りの呼び方が逆になります。図がどちら側から見たものかをそろえ、矢印を途中で反対側の視点に切り替えないようにします。
例題1：二段の回転数を追う
Aは歯数10、Bは30で互いにかみ合っています。Bと同じ軸に固定されたCは歯数12、Cとかみ合うDは48です。Aが一分間に120回、時計回りに回るとき、Dの一分間の回転数と向きを求めましょう。すべて同じ側から見ています。
答え・解説： Bは120×10÷30＝40回。Cも40回。Dは40×12÷48＝10回です。外歯のかみ合いが二箇所なので、DはAと同じ時計回りです。途中のCの回転数を省かず書くと、「同軸だから同じ」という判断が答案に残ります。
例題2：必要な歯数を逆算する
Aは歯数15で一分間に80回転し、歯数40のBとかみ合います。Bと同じ軸に固定されたCの歯数は20です。Cとかみ合うDを一分間に10回転させるには、Dの歯数をいくつにしますか。
答え・解説： Bは80×15÷40＝30回転し、Cも30回転します。Cが一分間に通す歯は20×30＝600枚分。Dが10回転で600枚分を通すため、600÷10＝60枚です。最初と最後の回転数だけからAとDの歯数を比べるのではなく、途中の同軸固定を通ってから最後の組を逆算します。
答えの大きさを確かめる
どちらのかみ合いも、小さい歯車から大きい歯車へ動きを渡すなら、二段とも回転数は減ります。最終的な回転数が最初より増えていたら、どこかで比を逆に使っています。数値の検算とは別に、各段が増速か減速かを矢印の横へ書いてみてください。
同じ歯数の組へ交換したときも確認になります。その一段では回転数は変わらず、向きだけ反転するはずです。式の中で等しい歯数が約分できるかを見れば、使った関係が装置の動きと一致しているか確かめられます。