遊星歯車では、歯車が自分の軸の周りに回るだけでなく、その軸自体も中央の歯車の周りを動きます。普通の歯車問題のつもりで歯数だけを逆比にすると、回転数が合わないことがあります。ポイントは、歯車を支える腕と一緒に動く人から見た回転と、床から見た回転を分けることです。
中央・外周・腕の三つを区別する
中央の歯車を太陽歯車、外側の内向きの歯を持つ輪を内歯車、その間の小歯車を遊星歯車と呼びます。小歯車の軸は腕に取り付けられています。腕が止まっていれば、各軸の位置は変わらず、固定軸の歯車として回転を追えます。
ここでは中央の歯数20、外周60、間の小歯車20という模型を使います。腕を止めて中央を時計回りに3回転させると、外周は反時計回りに1回転する、と問題の条件として与えます。小学生向けには、この関係を難しい公式から覚える必要はありません。正逆の向きも含めた表を使う練習にします。
全体を同じだけ回す操作を足す
三つの部品を相対的に動かさず、装置全体を時計回りに1回転させる操作を考えます。この操作では歯のかみ合い方は変化しません。中央、外周、腕のすべてに時計回り1回転が加わります。
先ほどの「中央3、外周−1、腕0」に、この「すべて＋1」を足すと、「中央4、外周0、腕1」になります。つまり外周を固定し、中央を時計回りに4回転させた場合、腕は時計回りに1回転する関係が得られます。反時計回りをマイナスとして扱うのは、方向の情報を失わないためです。
「固定されている外周だから回転数は0」という条件を、表の合計の欄で満たすようにします。最初の操作の欄で外周を0にしてしまうと、固定軸として比べる操作と、全体を回す操作が混ざってしまいます。
例題1 外周を固定した回転
図と同じ模型で、外周を固定し、中央を時計回りに毎分120回転させます。腕はどちら向きに毎分何回転しますか。中央4回転に対して腕1回転という上の関係を使ってよいものとします。
答え・解説： 腕は時計回りに120÷4＝30回転です。中央と外周の歯数20対60だけを使って40回転としないようにします。今回は小歯車の軸が動くため、腕の回転を含めた表でできた4対1を使います。
例題2 中央を止めた場合
同じ模型で、腕を止めた操作を「中央−3、外周＋1、腕0」とします。これに全体を時計回り3回転させる操作を足すと、中央は止まります。このとき外周と腕の回転数を求め、外周を時計回りに8回転させると腕が何回転するか求めなさい。
答え・解説： 中央は−3＋3＝0、外周は1＋3＝4、腕は0＋3＝3回転です。外周8回転はこの二倍なので、腕は時計回りに6回転します。どの部品を止めるかが変われば、同じ装置でも回転数の関係が変わります。
表の列を勝手に取り替えない
計算中に「小さい歯車」「大きい歯車」だけで呼ぶと、腕が表から抜けがちです。中央・外周・腕という列名を最後まで残します。小歯車自身が何回自転したかを問う問題と、腕が何周したかを問う問題は別です。図で小歯車に塗った点と、その軸の位置を見れば、この違いが分かります。
腕の一周で小歯車の中心は元の位置へ戻りますが、小歯車の歯に付けた印が同じ向きへ戻るとは限りません。公転した回数と、自転した回数を同じ数として答えることはできません。問われた印がどこに付いているかまで読みましょう。
入試の資料問題では与えられた関係を出発点にする
この題材で覚えるべきことを増やす必要はありません。未知の装置の説明文から、固定したときの比、時計回りの符号、全体を回すと足される量を取り出す力が大切です。表を足す方法が問題文に書かれているなら、それを丁寧に使えば解けます。
ただし、どんな歯数でも同じ4対1になるわけではありません。20と60という歯数やかみ合い方に対応した結果です。例題の数字を装置一般の性質にしてしまわず、何が固定条件だったかを余白へ残しておきます。
答えを見直す際は、止めた部品の合計が本当に0かを確認します。次に腕の回転を全部の部品から引き、腕が止まった見方へ戻したとき中央と外周の比が元の関係になるかを調べます。この戻し算なら、計算を繰り返すだけよりも方向の間違いを見つけやすくなります。
0回転を引き算で作る意味
表の「外周−1」に「全体＋1」を足すと、外周だけが0になります。この手順は、一度逆回転させてから実際に装置を丸ごと動かす実験の手順を指すものではありません。重ね合わせて最終的な動きを求める、計算上の整理です。時間を前半と後半に分けた運転だと解釈すると、回転数の時間当たりの意味が変わってしまいます。
毎分の回転数を使う場合は、表の全列を毎分へそろえます。一つの欄だけ十秒間の回数なら、そのまま足せません。また、止める部品を途中で変える問題なら、区間ごとに別の表を作り、最後に各区間の回転回数を合計します。
「太陽」という名前から実際の太陽と惑星の公転比を持ち込む必要もありません。名前は中央と周囲の配置を表す手掛かりで、天体の周期を計算する題材ではないのです。仕組みに合った比だけを、資料から取り出す練習として取り組みましょう。