丸い歯車が回ると、かみ合った棒がまっすぐ動く仕組みがあります。歯のついた棒をラック、丸い歯車をピニオンと呼びます。回転運動と直線運動を結びつける装置です。ここでは、ピニオンの軸の位置を固定し、ラックだけが左右へ動くモデルを考えます。二つの歯車の回転数を比べる問題とは、答えの単位が変わります。
一歯分進むと、棒も一歯分動く
かみ合いが外れず、歯が飛ばないなら、ピニオンの歯が一つ分進むごとに、ラックの歯も一つ分送られます。ラックで隣り合う歯の対応する位置どうしの間隔が3mmなら、一歯分の送りは3mmです。ピニオンが一周して20枚の歯が通過すれば、ラックは3×20＝60mm動きます。
この間隔をピッチと呼びます。歯の先端の幅でも、谷の空間の幅だけでもありません。同じ形が繰り返される間隔なので、ある歯の左端から隣の歯の左端のように、対応する点で測ります。図に歯が十本見えているとき、最初と最後の歯の中心の間には九つの間隔しかない点にも注意してください。
歯車の外周を測ればよいとは限らない
一回転で送る長さは、歯車の歯先をなぞったぎざぎざの周長ではありません。専門的には基準となる円の円周に対応する長さを使います。入試の資料に歯数とピッチが与えられているなら、その二つから移動距離を求められます。見かけの外径へ急いで円周率をかけるより、問題に明示されたかみ合いの条件を使いましょう。
同じ大きさの写真に見える二つの歯車でも、写真の倍率や歯の形が違えば、送り量は比べられません。また、ラックのピッチに合わない歯車を無理に組み合わせて計算することもできません。「正しくかみ合っている」と指定された模型の中で、歯の対応を数えることが前提です。
例題1 一回転半で、何mm？
ピッチが3mmのラックに、歯数20のピニオンが正しくかみ合っています。ピニオンの軸を固定し、同じ向きに1.5回転させました。ラックは何mm動きますか。歯の飛びや遊びはないものとします。
答え・解説： 一回転で20枚分、1.5回転で30枚分の歯が通過します。3×20×1.5＝90mmです。まず歯の数、次に距離という二段階で計算すると、単位の変化が分かります。90mmをcmで答えるなら9cmです。3mmという小さな数をそのまま3cmとして使わないよう、最初の式に単位を書いておきます。
回る向きから、棒の進む向きを読む
ラックが歯車の下にあるなら、歯車の最も下の部分がどちらへ動くかを見ます。時計回りに回る歯車の下側は左へ進むので、この配置ではラックも左へ動きます。ラックが歯車の上にある図なら、同じ時計回りでも右へ動きます。時計回りという言葉だけを覚えて、いつでも右と決めないことがポイントです。
円の一番下へ点を一つ置き、ほんの少し回した後の点の位置を描くと、向きを確認できます。歯車の回転矢印が裏側から見たものか、正面から見たものかも区別します。前から時計回りの動きは、裏側からは反時計回りに見えるためです。見る側を固定した一枚の図で考えてください。
例題2 端の歯を数えたときの間隔
一直線に並ぶラックの歯を、最初の歯から最後の歯まで11枚数えました。最初と最後の歯の中心どうしの距離は40mmです。ピッチはいくつですか。このラックを120mm送るには、歯数24のピニオンを何回転させますか。
答え・解説： 11枚の歯の中心の間には10個の間隔があるので、40÷10＝4mmです。一回転の送りは4×24＝96mmです。したがって120÷96＝1.25回転となります。40÷11にしないことが重要です。歯そのものを数えた数と、歯の間を数えた数の差を、小さな点の列で確認してみましょう。
一分あたりの回転数なら、時間も必要
一回転で動く距離が分かっても、何秒でそこまで動くかは回転する速さによります。一回転で60mm送る装置が毎分10回転なら、毎分600mmです。これを秒速へ直すなら60で割り、毎秒10mmになります。毎分と毎秒を混ぜると、正しい歯数を使っていても答えが60倍ずれます。
歯車を大きくして歯数を増やすと、同じピッチ、同じ回転数なら一回転の送りが大きくなります。しかし、負荷が同じときの必要な回す力まで無条件に同じとは言えません。移動距離の計算と、力やエネルギーの計算は分けて考えます。このページの例題では、前者に絞っています。
実際の装置には歯のすき間があり、向きを切り替えた直後にわずかな遊びが生じることもあります。理想条件での計算結果と測定値が違うとき、測り方だけでなく、問題で省略した条件も確認します。図に「固定」「一歯の間隔」「通過した歯の枚数」を書き込むことが、複雑な機械の資料を読む足場になります。