棒をつないだ道具で小さな図をなぞると、離れた鉛筆が大きな図を描くことがあります。作図用パンタグラフです。電車の屋根にある集電装置と名前が同じでも、このページで調べるのは、固定点と二つのペン先の位置を一定の関係に保つ作図機構です。拡大率を考えるとき、図形の一辺と面積を分けることが大切です。
固定点から見た位置を比べる
この模型では、固定点O、なぞる点P、描く点Qが常に一直線上に並び、OQがOPの二倍になるように棒を組んでいます。Pが動くたびにQも動きますが、どちらもOからの距離で比べるのであって、紙の端からの距離ではありません。棒をつなぐ穴の位置が変われば拡大率も変わり得ます。
固定点は装置を支える基準です。Oが途中で動いたら、元の図形を同じ割合で写す関係が保てるとは限りません。机の上の紙が滑っても、なぞった線と写った線の関係は崩れます。数学的な相似の条件と、それを装置で保つための固定を一緒に見ます。
一辺が二倍でも面積は二倍ではない
長方形を縦にも横にも二倍にすると、同じ大きさの長方形が四枚入る広さになります。輪郭をたどる鉛筆の移動距離は二倍ですが、囲まれた面積は四倍です。インクで線を引く量と、内側を塗る量を比べる問いでは、使う倍率が違います。何の量を拡大するかを書いてから計算すると混同を避けられます。
円を描いたときも、半径や直径は長さなので二倍、面積は四倍になります。「円だから特別な拡大率」と考える必要はありません。逆に、描いた図が一方向だけ長くなっていたら、同じ割合の拡大ではない可能性があります。縦と横の両方を測るのが検証になります。
例題1 写した長方形
OQ＝3×OPとなる装置で、縦2cm、横4cmの長方形をなぞりました。描かれる長方形の縦と横、周の長さ、面積を求めなさい。装置のたわみやペン先の太さは無視します。
答え・解説： 縦6cm、横12cmです。周は(6＋12)×2＝36cm、面積は6×12＝72平方cm。元の周12cmは三倍、元の面積8平方cmは九倍になっています。長さの三倍を面積にもそのまま使って24平方cmとしないようにします。
例題2 面積から倍率を戻す
ある図を写したところ、面積が元の4倍になりました。拡大は全方向で同じ割合です。元の線分が5cmなら写した線分は何cmですか。また元の図をなぞる点が固定点から8cmにあるとき、描く点は固定点から何cmですか。
答え・解説： 縦横をそれぞれ二倍にすると面積が四倍になるので、長さの倍率は2です。線分は10cm、固定点からの距離は16cmです。面積の倍率4を距離に掛けて32cmにするのは、別の量の倍率を使った誤りです。
棒の長さだけで決めつけない
長い棒が短い棒の二倍だから、どこに鉛筆を付けても二倍になるわけではありません。固定する点、なぞる点、描く点の配置によって関係は変わります。問題図に示された穴や点の名前を先に確認します。実物の写真だけでは見えない接続があるなら、構造図の情報を追加して読む必要があります。
棒の交点が自由に回れることも大切です。完全に固めた枠では、同じように自由な曲線をなぞれません。一方で接続が大きくがたつけば、ペン先の位置が毎回ずれてしまいます。「動く必要がある部分」と「動いてはいけない基準」を分けると、装置の説明が具体的になります。
拡大が正しいかを確かめる
まず短い水平線と垂直線を写し、二方向の倍率を調べます。次に四角形の角が保たれるか、始点へ戻ったとき写した線も閉じるかを見ます。始点と終点がずれたとき、すぐに計算の誤りとせず、紙の移動や固定点のずれも確認します。作図道具は、数の関係を実物で保つ仕組みを学ぶ題材です。図を大きくすることと、精度を高めることは別の課題として考えましょう。
図の位置と図の大きさを分ける
固定点を紙の左下に置き、写し取る点が固定点から四センチメートル、描く点が八センチメートル離れている模型を考えます。三点が同じ直線上にあるとき、固定点から測った距離の比が一対二です。描く点は元の点より四センチメートル遠い位置にありますが、どの点でも四センチメートルだけ足すという平行移動ではありません。
別の点が固定点から六センチメートル離れていれば、対応する点は十二センチメートルです。増えた距離は六センチメートルとなり、先ほどの四センチメートルとは異なります。常に同じなのは差ではなく比です。この二組を比べることで、拡大と平行移動の違いを具体的に説明できます。
面積については、縦にも横にも同じ倍率が掛かることを図のます目で確かめます。辺が二倍の正方形には、元の正方形が縦二枚、横二枚の合計四枚入ります。一方、周囲の長さは四つの辺それぞれが二倍になるだけなので二倍です。大きくなったという一つの言葉を、長さ、周囲、面積という別の量へ書き分けます。
装置を組み立てた図では、棒をつなぐ穴と、紙へ固定した穴を見分ける必要があります。全ての穴が自由に動くなら、固定点を基準にした拡大の説明はそのまま成立しません。棒の長さの表示だけでなく、どの点が止まり、どの点が原図をたどり、どの点が筆記するかを確認します。算数の相似だけを使う問題と違い、動く装置の条件を読み取るところに理科の資料問題としての意味があります。