ばねを伸ばすほど、手には強い力が必要になります。それでは、自然の長さから10cm伸ばす仕事は、最後に必要な力と10cmを掛ければ求められるでしょうか。途中の力は最後より小さいので、その計算では大きく見積もりすぎます。一定の力で引く問題とは、ここが違います。
中学入試で力とのびのグラフが与えられたら、最後の一点だけを見るのではなく、引いてきた区間全体に注目してください。ここでは「仕事は力と移動距離のグラフの下の面積で求められる」という関係を条件として使います。三角形や台形の面積が計算できれば、高校の公式を覚えなくても考えられます。
横軸はばねの全長ではなく、のび
自然の長さが15cmのばねを25cmにした場合、伸ばした距離は10cmです。力が0になる位置を横軸の0とするなら、25ではなく10を使います。横軸が全長で描かれているグラフでは、自然長に当たる15cmの位置から面積を数えます。
以下では、のびと必要な力が比例し、ゆっくり引いてばねの重さや摩擦の影響を無視できるものとします。急におもりを落として振動させる実験ではありません。持ち手が動いた距離がそのままばねののびになる、片端を固定した一本のばねを扱います。
例題1｜最初から10cm伸ばす仕事
自然長から5cm伸ばすのに2N、10cm伸ばすのに4N必要なばねがあります。Nは力の単位です。自然長から10cmまでゆっくり伸ばす仕事を求めてください。1Nの力で1m動かす仕事を1Jとし、グラフの下の面積が仕事を表すものとします。
答え・解説： 横軸0〜10cm、縦軸0〜4Nで囲まれる三角形を使います。10cmは0.1mなので、0.1×4÷2＝0.2Jです。最後の力4Nが最初から働いたわけではないため、4×0.1＝0.4Jという長方形の半分になります。
この比例するばねでは、区間全体の平均の力が（0＋4）÷2＝2Nとなるので、2×0.1＝0.2Jとしても確かめられます。ただし、平均を両端の足し算で求められるのは、直線的に変わるという条件があるからです。曲がったグラフへ同じ方法を機械的に使わないでください。
同じ5cmでも、後半の方が多くの仕事が必要
自然長から5cmまでと、5cm伸びた状態から10cmまでを比べます。動かす距離は同じ5cmですが、後半は初めから2N必要で、最後には4Nになります。前半より強い力で同じ距離を引くので、後半の仕事が大きくなります。
「のびが2倍だから仕事も2倍」とはなりません。原点からの三角形は、のびが2倍になると底辺も高さも2倍になるため、面積は4倍です。比例するのは力とのびであり、仕事とのびではないと区別しましょう。グラフのどの量を比べているかで、倍の関係が変わります。
例題2｜5cmから10cmへ、さらに伸ばす仕事
例題1のばねが、すでに5cm伸びています。この状態から10cmのびる位置まで引く仕事を求めてください。また、自然長から5cmまでの仕事の何倍になりますか。
答え・解説： 5cmから10cmの間のグラフは、平行な二辺が2Nと4N、幅が0.05mの台形です。仕事は（2＋4）×0.05÷2＝0.15Jです。最初の5cmまでの仕事は2×0.05÷2＝0.05Jなので、後半は0.15÷0.05＝3倍になります。
全体0.2Jから前半0.05Jを引く方法でも0.15Jです。のびの差5cmだけを見て、もう一度原点からの三角形を描くと、すでに2Nの力が必要な状態を消してしまいます。出発点が自然長か、伸びた途中かを問題文で囲みましょう。
グラフの目盛りに単位を付ける
面積を二つに分割する場所は、必ずしも5cmでなくてもかまいません。どこで分けても、各区間の仕事を足せば同じ全体になります。ただし、途中からの区間には原点からの三角形を毎回作るのではなく、その区間の下にある台形を取ります。区間を切る操作と、力を0へ戻す操作は別だと考えてください。
cmのまま面積を計算すると、例題1は20N・cmです。これをそのまま20Jと書くことはできません。1mが100cmなので、N・cmの数値を100で割ればJになります。最初に距離をmへ直す方法と、最後に単位を直す方法を混ぜないようにします。
グラフの紙の面積そのものを測るわけでもありません。縦の一目盛りが何N、横の一目盛りが何cmかによって、一つの小さな四角が表す仕事は変わります。グラフを大きく印刷しても、ばねを伸ばす仕事が増えることはありません。
ゆっくり元へ戻すと、理想的なばねは蓄えたエネルギーを外へ返せます。しかし実物には振動や摩擦などがあり、引くときの面積と戻るときの面積が一致しない場合もあります。本稿はその損失を省いた模型です。解答では三角形の面積だけでなく、「力が途中で増えるから、最後の力を全区間へ掛けない」と説明できれば、計算の意味まで押さえられます。
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