動滑車を使えば、荷物を直接持ち上げるより小さい力で済みます。それでは、使ったエネルギーまで少なくなったのでしょうか。調べるには力だけでは足りません。手がひもをどれだけ引いたかも必要です。中学入試で仕事や効率が条件として与えられたら、手元の入力と荷物の上昇を別々に計算しましょう。
力が半分でも、距離が二倍になる
この記事では、動く向きに一定の力を加えたときの仕事を「力N×距離m」で求め、単位をJとすると与えます。力と移動が同じ向きの計算に限定します。Nとcmで計算した値を、そのままJと書いてはいけません。50cmなら0.50mへ直します。
理想的な一本の動滑車では、荷物を支える二本のひもがそれぞれ短くなるので、荷物を1m上げるには端を2m引きます。力は半分、距離は二倍なので、積は同じです。実際に引く力を測る問題では、摩擦や装置の重さの影響が含まれることがあります。「動滑車だから必ず半分」と測定値を上書きしないようにします。
今回の目的を、荷物の上昇に絞る
手の入力仕事は、手で引く力と引いた距離の積です。目的に使えた仕事は、荷物の重力と上昇した高さの積です。その二つの比が、ここで扱う効率です。手が引く方向と荷物が動く方向が違っていても、各部分について力と距離を対応させます。
以下では荷物をゆっくり一定の速さで上げ、始めと終わりの速さの違いは無視します。滑車などの重さは無視でき、入力と荷物の上昇との差は主に摩擦によるものとする模型です。装置そのものを持ち上げる重さがある場合には、その分も入力に含まれます。何を有用な仕事として数えるかを決めずに、効率の数字だけを比べることはできません。
例題1｜測った力から効率を求める
重力が12Nの荷物を、一本の動滑車で0.50m持ち上げます。ひもは1.00m引き、引く力は一定で7.5Nでした。荷物を持ち上げる仕事と、手の入力仕事、効率を求めましょう。
答え・解説： 荷物への仕事は12×0.50＝6.0Jです。手の仕事は7.5×1.00＝7.5J。効率は6.0÷7.5×100＝80％です。差の1.5Jは、今回の目的である荷物の上昇以外へ回った分です。エネルギーがなくなったわけではなく、摩擦に伴う熱などになっています。
12Nと7.5Nの比だけでは効率になりません。荷物と手は同じ距離を動いていないためです。また、理想なら6Nで引けるという見通しは使えますが、実測の7.5Nを6Nへ置き換えてはいけません。理想との差を調べるために、測った値が与えられています。80％という答えは、理想の100％より小さく、条件とも矛盾しません。
例題2｜効率から必要な引く力を逆算
重力20Nの荷物を0.30m上げるとき、ひもの端は0.60m動きます。この条件での効率が75％なら、一定の速さで引くための力は何Nですか。滑車の重さと、速さの変化による影響は無視します。
答え・解説： 荷物へ必要な仕事は20×0.30＝6Jです。これは入力の75％なので、入力は6÷0.75＝8J。ひもを0.60m引くため、力は8÷0.60＝40/3N、約13.3Nです。直接20Nで持ち上げるより力は小さいですが、理想的な10Nよりは大きくなっています。
6Jに0.75を掛けると4.5Jになり、必要な仕事より少ない入力で済む計算になってしまいます。求めたいのは受け取る側の6Jを確保するための入口です。入口を100の帯、荷物へ届く量を75の帯として描くと、逆算で割る理由が見えます。割合の問いでは、何が100％かを言葉で添えると迷いにくくなります。
力、仕事、時間を同じ意味で使わない
軽い力で長く引く方法と、大きい力で短く動かす方法は、同じ仕事になることがあります。さらに、同じ仕事を短時間で行うか長時間で行うかは、仕事率という別の比較です。今回の効率は時間の長短だけでは決まりません。速く上げたから効率が高い、とも言い切れません。
複数の滑車を比べる表では、「手の力」「手の距離」「荷物の重力」「上がった高さ」を四つの欄に分けます。まず同じ場所の力と距離を掛け、最後に二つの仕事を比べます。手の力と荷物の高さを組み合わせる誤りを防ぐためです。便利な道具は、力の使い方を変えます。力の小ささだけでなく、そのためにどれだけ動かす必要があるかまで読むと、滑車の働きを数量で説明できます。
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