中学受験理科｜差動滑車はどれだけ上がる？｜巻き取る長さと送り出す長さの差

上がる量は、二つの長さの差から求める

差動滑車は、大きさの違う二つの輪を同じ軸で回し、一方で鎖を巻き取りながら、もう一方から送り出す仕組みを利用します。ここでは下に一つの動滑車があり、それを二本の垂直な鎖で支える模型を考えます。大きい輪が巻き取った長さを、そのまま荷物の上がる距離にしないことが最初の注意点です。もう一方から鎖が送り出される分を引かなければなりません。

例えば一回転で大きい輪が60cm巻き取り、小さい輪が48cm送り出せば、下の輪を支える鎖の長さは合計12cm短くなります。二本の部分が同じだけ短くなるので、動滑車の上昇は6cmです。「引き算してから二つに分ける」という順序を、鎖の絵と結び付けましょう。単に大きい半径と小さい半径を見て、てこの比だけで答える問題ではありません。

巻き取りから送り出しを引く。数値のある図は本文の例題模型です。

同じ軸なら回転数がそろう

大小二つの輪が一体になっていれば、一方が一回転したとき他方も一回転します。しかし、周の長さが違うため、出入りする鎖の長さは等しくありません。この違いを利用するのが差動の考え方です。車の左右の回転を分ける差動装置とは、扱う構造や読みたい量が違います。言葉が同じでも、その問題の図から動作を決めてください。

理想的に鎖が伸びず、重さや摩擦を無視し、ゆっくり動くものとします。大小の輪が別々に自由回転するなら、同じ回転数という条件は使えません。滑る鎖でも、周の長さだけから巻き取り量を決められなくなります。図に「固定」「一体」「滑らない」と書かれた条件は、計算を成立させる大事な情報です。

例題1｜二回転で何cm上がるか

大きい輪の周は60cm、小さい輪の周は48cmです。上の二つの輪を二回転させました。下の動滑車と荷物は何cm上がりますか。二本の鎖は垂直で、模型の理想条件が成り立つものとします。

答え・解説：一回転で支える鎖全体が60−48＝12cm短くなります。動滑車はその半分の6cm上がるので、二回転では12cmです。60×2＝120cmは大きい輪が巻き取った長さであり、荷物の移動ではありません。48×2＝96cmが同時に送り出されていることを図へ書けば、差の24cmを二本で分担する理由が見えます。

例題2｜引く力を仕事から求める

上の模型で600g重の荷物を6cm持ち上げるため、手元の鎖を60cm引くとします。力と距離の積が保存され、損失がないとき、鎖を引く力は何g重ですか。

答え・解説：荷物側の仕事は600×6＝3600g重・cmです。手元ではこの仕事を60cmの移動で与えるので、3600÷60＝60g重です。力は小さくなりますが、その代わり手が長く動きます。荷物が6cm上がる間、手も6cm動くと置けば、力を小さくできる仕組みを失ってしまいます。実物では摩擦や装置自体の重さにより、これより大きい力が必要になり得ます。

差を小さくすれば何が起こるか

大小の周が60cmと54cmなら、一回転での差は6cm、荷物の上昇は3cmになります。同じ高さへ上げるには回転数が増えます。差を小さくするほど、少しずつ持ち上げる構造になるのです。ただし周が完全に同じなら巻き取りと送り出しが相殺し、この模型では荷物は上がりません。「力が無限に小さくなる便利な道具」ではなく、上げる動作がなくなります。

解答では鎖の長さと荷物の高さを別の行に書くと整理できます。巻き取り、送り出し、差、二本で分ける、という四段階です。図にある滑車の個数だけで力の倍率を決める方法は、このような仕組みでは使えません。何本が荷物を支え、どこで鎖の長さが増減しているかを追うことが、初めて見る装置を読む手順になります。

二本の短縮を別々に図へ書く

荷物が6cm上がれば、下の動滑車の左右にある垂直部分はそれぞれ6cm短くなります。その合計12cmが、上で巻き取った量と送り出した量の差に一致します。逆に、左右の一方だけが12cm短くなる図を描くと、動滑車の位置と鎖の経路が合わなくなります。計算後の答えをもう一度図へ戻して、左右両側の変化を確かめると、二で割る操作が暗記でなくなります。

輪の周を直接与えられず半径で示された場合には、同じ一回転での移動が円周に対応すると読み替えます。ただし大小の半径を引いた長さだけでは、まだ鎖の巻き取り差ではありません。半径差に円周の係数を掛ける段階が必要です。円周率を使う式になっても、仕事の比を取る途中で共通部分が消えることがあります。数字を早く小数にして丸めるより、どの長さが同じ回転に対応しているかを図上に残す方が確認しやすいでしょう。

同じ荷物を同じ高さへ上げる二つの差動滑車を比べると、差の小さい方は手元で長い鎖を動かすことになります。理想的な仕事が同じなら、その長さと引く力は補い合います。ところが実際の効率も同じとは限りません。回転軸や鎖の接触で失われるエネルギーが増えれば、理想の小さな力をそのまま実現できない場合があります。設問が理想模型なのか、測定した引く力を使うのかで解法を選びます。動滑車の重さを無視できない問題なら、荷物だけでなく持ち上がる装置の分も加える必要があります。支えている物の範囲を決めることは、長さの差を求めることと同じくらい大切です。