校庭の高い柱に直接ものさしを当てなくても、太陽の影と短い棒を比べれば高さを求められる場合があります。必要なのは、近くで同じ時刻に、同じ傾きの地面へできた影を比べることです。影が長いという事実だけで、柱が高いとは決められません。
太陽は非常に遠くにあるため、校庭程度の範囲へ届く光はほぼ平行として扱えます。近くの電球から広がる光の影とは、この点が異なります。本稿では水平な地面に棒や柱を鉛直に立て、影の先端が分かる模型で考えます。太陽を直接観察する必要はありません。
高さと影は、同じ形の三角形になる
棒の根元、棒の先端、影の先端を結ぶと直角三角形ができます。同じ時刻・同じ場所なら太陽光の傾きが共通なので、高い柱でも短い棒でも三角形の形は同じです。横へ二倍に広がった形なら、縦の高さも二倍になります。
棒の高さが1m、影が1.5mなら、その瞬間は「高さ：影＝1：1.5」です。別の柱の影が9mなら、影の比9÷1.5＝6倍から、高さも1×6＝6mと分かります。角度の公式を知らなくても、同じ形の拡大で考えられます。
ここで使う影の長さは、根元から影の先端までの地面に沿った水平距離です。柱の上から斜めに影の先まで測った長さではありません。三角形の斜めの辺と、地面の辺を取り違えないようにします。
同じ時刻でなければ比が変わる
太陽が高いときは影が短くなり、低いときは影が長くなります。同じ柱でも朝と昼で影の長さが違うので、午前の棒の記録と午後の柱の記録を、そのまま一組にはできません。
また、影の向きも変わります。地面上の決まった南北線に投影した長さを、影そのものの長さと混同しないようにします。測るのは根元と影の先を直接結ぶ方向です。
異なる時刻の記録でも、それぞれの時刻に基準の棒を置いていれば換算できます。同時に測る相手があることが重要です。棒の影が変わった分だけ柱の高さも変わった、と考えないようにしましょう。
例題1：棒を基準に柱の高さを調べる
水平な地面に鉛直に立てた高さ1.2mの棒の影が0.8mでした。同じ時刻に近くの柱の影を測ると6mでした。柱も鉛直に立っているとして、高さを求めてください。
答え・解説：9mです。 影は6÷0.8＝7.5倍なので、高さも1.2×7.5＝9mです。あるいは高さと影の比が1.2：0.8＝3：2だから、6×3÷2＝9mと考えられます。
6×0.8÷1.2＝4mとすると比が逆です。基準の棒では高さの方が影より長いので、柱でも高さは6mより大きくなるはずです。大小関係を先に見ておくと、この逆算ミスに気づけます。
例題2：時刻が変わった後の影を求める
午前に高さ1mの棒の影が2m、同時刻の柱の影が10mでした。午後には同じ棒の影が0.8mになりました。柱の高さと、午後の柱の影の長さを求めてください。地面や棒の条件は同じです。
答え・解説：柱の高さは5m、午後の影は4mです。 午前の記録から柱は棒の10÷2＝5倍の高さ、つまり5mです。午後も高さの比は5倍なので、棒の影0.8mを5倍して4mになります。
午前の柱の影10mを、午後の棒の影0.8mと直接比べると、同じ形ではない二つの三角形を混ぜてしまいます。いったん変わらない柱の高さを求めてから、新しい時刻の光の傾きへつなぎます。
坂道や傾いた棒では何が変わるか
基準の棒が傾いていると、棒の長さは鉛直の高さと一致しません。さらに先端の真下の位置が根元からずれるため、根元から測った影も単純な三角形の底辺にはなりません。真っすぐに立っている条件が計算の根拠です。
棒は平地、柱は斜面という組み合わせも、そのまま比べられません。太陽光が平行でも、地面との角度が違うからです。斜面上の影の長さから高さを求めるなら、斜面の傾きなど別の情報が必要になります。
影の境界がぼやけるときは幅を持って読む
太陽は見かけ上の大きさをもつため、実際の影の縁は完全に一本の線にはなりません。地面の凹凸や棒の太さによっても、先端を選ぶ位置がずれます。計算問題では理想化された長さを使いますが、観測結果に不自然に細かな桁を付けない姿勢も大切です。
太陽の高さを角度で求める問題とは、必要な情報を分けます。この方法で直接分かるのは高さと影の比であり、一般の角度を出すには追加の対応表などが必要です。
最後に、光は平行、物体は鉛直、地面は水平、比較は同時刻。この四条件を図の横へ書いてみてください。比の計算ができる理由を、太陽光の進み方から説明できるようになります。