中学受験理科｜傾斜計で木の高さを測る｜45度の三角形と目の高さ

木のてっぺんまで物差しを伸ばさなくても、高さを見積もる方法があります。見上げる角度と、木から離れた水平距離を組み合わせる方法です。ただし、地面から木の先端までの高さと、目の位置から先端までの高さは違います。中学入試でこの仕組みが文章と図で示されたら、まず水平線を一本引き、どこからどこまでを測ったのかを確かめましょう。

糸は鉛直を、視線は斜めの方向を示す

傾斜計は傾きを測る道具です。分度器とおもりを付けた糸を使う模型では、糸がおおむね鉛直方向を指す性質を利用します。目盛りの付け方によって、読み取った数値が鉛直からの角度なのか、水平からの角度なのかが変わります。「分度器が30度だから見上げた角度も30度」と数字だけ写すと、図の向きが逆になることがあります。水平に向けたときの読みを先に調べるのは、その違いを確かめるためです。

ここでは水平線から視線までの角度を使います。木の幹が鉛直で、目の高さを通る水平線と木の先端への視線が45度なら、直角二等辺三角形ができます。この三角形の横の長さと縦の長さは等しいので、水平距離が分かれば、目より上にある部分の高さが分かります。三角比という新しい公式を暗記しなくても、45度の図なら小学校の図形で説明できます。

45度で横と縦が等しい。数値は本文の例題模型。形は模式図です。

例題1｜目より上と木全体を分ける

平らな地面に立ち、木の真下から水平に12m離れて観察しました。目の高さは地面から1.4mで、先端を見上げる角度は45度でした。木がまっすぐ立っているとき、その高さを求めてください。

答え・解説：目から上の高さは水平距離と同じ12mです。木全体では12＋1.4＝13.4mになります。12mの三角形は地面から始まっていません。木の幹に、目と同じ高さの印を付けたつもりで図を描くと、足す1.4mの位置が明確になります。目の高さを引いた10.6mでは、先端が目から12m上にある条件を満たしません。

例題2｜木の根元が低い場所にある

観察者の立つ地面は、木の根元の地面より2m高い場所にあります。目は立っている地面から1.5m上で、木の先端までの仰角は45度、幹までの水平距離は10mです。木全体の高さは何mでしょう。

答え・解説：根元から目の水平線までは2＋1.5＝3.5mあります。そこから先端までは10mなので、全体は13.5mです。斜面に沿って歩いた距離を10mとしたわけではありません。問題が指定する水平距離を三角形の横辺に使います。地面の高低を無視して11.5mとすると、観察者が立つ位置の2m分が抜けます。

同じ木なのに測定値が違うとき

木の先端が幹の真上から横へ張り出していると、根元までの距離と、先端の真下までの距離は一致しません。枝先を見て測った高さが測定位置によって違う場合、道具の誤差だけでなく、どの点を先端として選んだかを確認します。葉の茂った木では、一番高い枝が手前の葉に隠れていることもあります。見えている最も高い点が、実際の最高点とは限りません。

遠くから測ればいつでも正確になるとも言えません。角度の小さな違いが高さの差として大きく出る場合があり、木の根元が見えにくくなる場合もあります。違う場所から繰り返す観測は役立ちますが、条件の悪い測定を何回も平均すれば必ず正しい高さになるわけではありません。測定場所、目の高さ、水平距離、見た枝を記録して比較する必要があります。

図では木の幹を少し太く描き、地面、目の水平線、視線を違う種類の線で表すと読みやすくなります。斜めの視線の長さは、この二つの例題では使いません。手元に数字が三つあっても、全部を計算に入れるのではなく、答えにつながる辺を選ぶことが大切です。測量の問題は大きな数を扱う計算というより、図に高さの基準を置けるかを問う問題として読めます。

垂れた糸を読む前にゼロを確かめる

傾斜計を机の水平な縁に沿わせたとき、糸がどの目盛りを横切るかを試すと、表示の基準が分かります。鉛直と水平は直角なので、一方から読んだ角度をそのまま他方の角度として使うことはできません。分度器の左右に二列の数字がある場合は、増える向きも確認します。測る途中で内側の目盛りから外側へ読み替えると、見上げる角度が大きくなったのに記録上は小さくなることがあります。道具の絵が問題に載っていたら、数値だけでなくゼロの位置を探すのが先です。

風で糸が揺れているとき、瞬間的に止まった最大の角度を採用すればよいわけではありません。鉛直の基準を作りたい道具なのに、風による横向きの力が加わっているからです。目標を見上げる姿勢で糸が顔や板に触れていれば、それも鉛直を指さなくなる原因です。繰り返す測定では、同じ読みが出ることだけでなく、糸が自由に垂れていたかも記録すると誤差の候補を絞れます。

高さを求める説明を答案にするときは、「45度なので同じ」だけでは何が同じか曖昧です。「目の水平線から先端までの高さが、先端の真下までの水平距離に等しい」と対象を入れます。図に同じ長さの印を二本の辺へ付け、その下に目の高さの区間を残すと、式を忘れても自分で組み直せます。斜面にある木の例では、目と根元の高低差が正か負かも図から読みます。根元が目より上なら、目の水平線から測った高さの一部を差し引く必要があり、いつでも目の高さを加える定型計算にはできません。