月面の山の高さは、現地へ物差しを立てなくても、影を手掛かりに推定できます。ただし、写真の上で長い影があれば、その山が必ず高いとは限りません。太陽が低い位置から照らしていれば、同じ山でも影は長くなります。撮影した時の光の傾きと、写真の距離の尺度が必要です。
中学入試では、光線の傾きを高さと横の距離の比で与えれば、三角比を知らなくても計算できます。まず写真のmmを月面上のkmへ直し、その後で、指定された光線の比から高さへ移ります。写真の長さへ直接、高さの比を掛けるだけでは、現地の高さの単位になりません。
山頂・ふもと・影の先を一つの断面へ
山頂から出た影の境界は、太陽光の進む向きに沿って地面へ届きます。山頂からふもとへ下ろす鉛直線と、ふもとから影の先までの水平な線を描くと、直角三角形ができます。その高さと底辺の比が、同じ傾きの光線の縦横比に対応します。
以下では影を受ける地面を水平とし、ふもとの位置が分かっている模型を使います。写真の距離は、斜めから見た縮みを補正済みの尺度で与えます。月面全体の曲面や近くの地形の凹凸は考えません。実際の月の写真では、この条件を満たすための補正や地形の検討が必要です。
例題1｜写真で12mmの影は、何kmの山？
補正済みの月面写真で、1mmが地面の0.5kmに当たります。山のふもとから影の先までは12mmでした。この場所では、光線が横へ4進む間に縦へ1下がる傾きだと分かっています。山の高さを求めてください。
答え・解説： 地面での影の長さは12×0.5＝6kmです。光線の高さと水平距離の比が1対4なので、山の高さは6÷4＝1.5kmです。先に写真の尺度を使って地面の距離へ直し、その距離を光線の傾きで高さへ変えています。
12÷4＝3として3kmと書くと、写真のmmと月面のkmの換算を落としています。3mmという値は同じ図上の縦の尺度に対応するだけで、実際の高さではありません。式へ「写真mm→地面km→高さkm」と矢印を添えると、二段階の変換を区別できます。
影の長さが変わっても、山が伸びたとは限らない
太陽がより高い位置へ来れば、光線が急になり、同じ高さの山の影は短くなります。反対に太陽が地平線に近づけば、影は長くなります。異なる日の写真の影を比べるときは、光の傾きが同じか確認しなければ、山の高さの比較になりません。
同じ写真内でも、広い月面では場所によって太陽の見える高さが異なります。写真の上で隣り合っているように見えることだけで、まったく同じ照明条件と扱えない場合があります。例題では対象地点の傾きを個別に与えているため、その比を使って計算できます。
例題2｜別の時刻の影で高さを検算する
同じ山を別の時刻に撮影しました。補正済みの尺度は1mmが0.5kmで変わらず、影の長さは4mmになりました。この時の光線は横へ4進む間に縦へ3下がる傾きです。山の高さを求め、例題1と矛盾するか確かめてください。
答え・解説： 影は4×0.5＝2kmです。高さは2×3÷4＝1.5kmとなり、例題1と一致します。影は3分の1になりましたが、光線の縦横比が1対4から3対4へ変わったので、同じ高さを表しています。
二枚の写真を比べるなら、影の長さだけでなく、尺度と傾きの三つを表にしてください。縮尺が違えば、同じ地面の長さでも写真のmmは変わります。この例では尺度をそろえて、光の傾きの影響だけを取り出しました。条件を一つずつ分けると、観測値の変化を地形の変化と誤認しにくくなります。
クレーターの深さを調べる場合は基準面が変わる
クレーター内部の影から深さを推定する場合は、ふちの高さと底面の位置を区別する必要があります。周囲の地面から山頂までの高さを求める模型を、凹地へそのまま移すことはできません。どこから光が遮られ、どの面へ影が落ちるのかを断面図に描き直します。
写真には、もともと色が暗い地面も写ります。暗い部分をすべて影と見なすと、輪郭や長さを読み違えます。時間とともに境界が動くか、地形と太陽の向きに合うかなどを確かめることが、実際の観察では大切です。数値が与えられた問題では、その部分が影だと指定されているかを読みます。
解答で「相似だから」とだけ書く前に、高さに対応する縦、影に対応する横を示してみましょう。計算の中心は比ですが、その比を使える図を作ることは理科の条件整理です。光の角度、地面の傾斜、写真の尺度を分ければ、遠くの天体を測る発想を具体的に理解できます。
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