離れた二地点で同時に太陽を観察すると、地面に垂直な棒と太陽光のなす角が違うことがあります。球形の地球では、場所によって鉛直方向が異なるためです。太陽から来る光を平行とみなせば、この角度の違いを、地球の中心から二地点を見込む角度へ結び付けられます。
中学入試でこの方法を考えるときは、影の長さだけを足したり引いたりしません。必要なのは、棒と光の角度、そして二地点の間の地表に沿った距離です。一周360度のうち何度分を実際に測ったのかを考えると、大きな地球の円周も割合で推定できます。
地球の中心から伸びる二本の棒を想像する
球の表面に垂直に立てた棒は、延長すると中心へ向かいます。二地点の棒を内側へ伸ばし、その間の中心角を描きます。太陽光が平行なら、棒と光の角度の関係から中心角を求められます。平らな紙の上で棒を全部平行に描くと、この方法の根拠が消えてしまいます。
以下では、地球を完全な球とし、AとBは同じ経線上にあるものとします。同じ日の南中時に観測し、Aでは太陽が真上にあるとします。Bでは太陽がAの方向へ傾いて見えます。大気による光の曲がりや、標高差は無視します。実際の観測値ではなく、計算用の条件です。
例題1｜600kmが5.4度に対応するとき
Aでは棒に影ができず、Bでは棒と太陽光のなす角が5.4度でした。AからBまでの地表に沿う距離は600kmです。上の条件で地球一周の長さを推定してください。
答え・解説： 二地点の中心角は5.4度です。600kmが一周360度のうち5.4度分なので、一周は600×360÷5.4＝40000kmと求められます。まず1度当たり600÷5.4kmを求め、360倍しても同じです。
600÷360×5.4とすると、小さな弧の距離からさらに小さな値を作ってしまいます。一周は600kmよりずっと長いはずだと見積もれば、割合の向きを点検できます。角度が小さいほど、同じ600kmが全体に占める割合は小さくなり、推定する円周は大きくなります。
距離は地球の中を貫く直線ではない
二地点を地球の内部で結ぶ直線の長さと、地表の経線に沿って進む長さは異なります。円周の割合に使うのは弧の長さです。模型で糸を地球儀へ沿わせた長さと、二地点の間へまっすぐ張った糸を区別すると理解しやすくなります。
道路の距離もそのままとは限りません。道路が蛇行したり、山を迂回したりすれば、経線に沿う距離より長くなります。問題に「地表に沿って600km」と与えられたら、その定義を使いますが、実際の観測で経路の走行距離を使う場合には、何を測った距離かを確認する必要があります。
例題2｜角度の読みが少し違ったら？
同じ600kmの測定で、Bの角度を5度と読み取った場合と6度と読み取った場合について、一周の推定値を求めてください。角度を大きく読み違えると、円周の推定は大きくなりますか、小さくなりますか。
答え・解説： 5度なら600×360÷5＝43200km、6度なら600×360÷6＝36000kmです。角度を大きく読むほど、600kmが一周の中で大きな部分を占めると判断するため、円周の推定は小さくなります。
この二つの計算は、実際の地球の大きさが変わったことを意味しません。観測の読み方が推定値へ与える影響を比べています。棒が地面に垂直でなかったり、影の先がぼやけたりすれば、角度にずれが生じます。単に長い棒を使えばすべて解決するわけではなく、鉛直や時刻の条件も必要です。
両方に影があるときは、向きも必要
二地点とも太陽が真上にない場合は、二つの角度を必ず引けばよいとは限りません。太陽が二地点の鉛直方向の間に見える配置では、向きによって角度を足す関係も生じます。本稿はAの角度が0になる配置を選び、Bの角度がそのまま中心角になるようにしています。
経度が違えば、同じ時計時刻に太陽が南中しているとは限らず、単純な南北断面だけでは扱えません。観測条件をそろえた理由を、式へ入れる前に説明できることが大切です。歴史上の方法の発想を学ぶことと、古い記録の距離単位を正確に換算することも別の課題です。
答案には、中心角5.4度に弧600km、全体360度に未知の円周という対応を書いてみましょう。光が平行であること、棒が鉛直であること、距離が弧であることの三つがそろって初めて、この割合が使えます。壮大な題材でも、図のどの角とどの長さを対応させたかを丁寧に追えば、小学生の算数で考えられます。