てこの式で「cm」と「比」を混ぜていませんか？

編集補足：プリントの後は、長さの基準がそろったかを点検する

以下の二問は、このページ用に新しく作った例題です。配布PDFの問題や実在の入試問題を写したものではありません。棒の重さを無視でき、水平な棒へおもりが鉛直につり下がっている場合を考えます。支点の左右におもりを一個ずつ付け、静止した状態でつり合うという条件です。

プリントを解けた後は、同じ答えを言えるかだけでなく、自分の式で左右の距離の単位が一致しているかを確かめます。比で計算しても、cmで計算しても構いません。その二通りが同じ意味になることを、一度自分の数字で確かめてください。

例題1：全体の長さから、左右の腕を取り出す

左右のおもりをつるす点の間は42cmで、その間に支点があります。支点から左のおもりまでと右のおもりまでの長さの比は2：5です。左に350gのおもりを付けるとき、右は何gでつり合いますか。左右の長さも求めてください。

左12cm、右30cmで、右のおもりは140gです。 比の合計は7なので、一つ分は42÷7＝6cmです。左は6×2＝12cm、右は6×5＝30cm。したがって350×12＝□×30から140gになります。

比のままなら350×2＝□×5としても140gです。左右を同じ6cmで割った比を使っているので、結果が一致します。この二つの式を並べると、比が長さの関係を表すことが目に見える形になります。

「350×12＝□×5」では、左がcm、右が比になっています。この式から840という数字が出ても、重さとして採用しません。長い腕の右側が左より重いという結果も、今回の一個ずつのおもりの条件では不自然です。式の単位と現象の両方から見直せます。

例題2：cmから比へ直したら、答えは変わる？

別の棒では、支点から左のおもりまで18cm、右のおもりまで24cmです。左が160gのとき、右のおもりを比で求めてください。18と24を何で割って比を作ったかも説明します。

長さの比は3：4、右のおもりは120gです。 18も24も同じ6で割りました。160×3＝□×4なので、160×3÷4＝120です。cmで160×18÷24と計算しても一致します。

左右をそれぞれ別の数で割ると、元の長さの関係を保てません。たとえば18を6で割って3、24を8で割って3とする操作は、同じ比へ直したことにはなりません。「小さい数にした」ではなく、「両方を同じ数で割った」と説明します。

問題文の「全体」は、どこの両端か

例題1の42cmは、おもりを付ける二点の間隔です。もし棒がその外側へ伸びていても、その余分な部分をおもりの距離へ足す必要はありません。この条件では棒の重さを無視しているからです。棒の端と力の作用点が同じとは限らないことを、図へ印を付けて確かめましょう。

反対に棒自体の重さを考える問題では、棒の重心に働く重力も含めます。今回の式を何にでもそのまま使うのでなく、「何の重さを数えるか」という条件も読み直します。比とcmがそろったからといって、すべての力を拾えたことにはなりません。

解答ページを開く前に、二色で線を引く

問題の図へ、支点から左のおもりまでを一色、右のおもりまでを別の色で示します。次に式の左と右にも同じ色を付けます。長さの線と式の数字が対応していれば、途中で端から端の長さへ置き換わった誤りに気付きやすくなります。

答え合わせの際は、誤った式を全部消す前に、どの数字の意味を変えたかを一行で残します。「5を30にした」より「左をcmで書いたので右もcmにそろえた」と書く方が、次の問題に使える説明になります。左右両方を比へ直した場合も、その判断を書いておきます。

計算だけで終わらない確認

今回の二例は、長い腕のおもりが軽くなる結果です。これは棒の重さを無視し、左右一個ずつのおもりが下へ引くという条件での確認です。複数のおもりや棒の重さが加わった図へ、重い方が短いという一言だけを当てはめないようにします。

プリントの目的は、cmに必ず換算することではありません。距離の起点と、左右の基準をそろえることです。解答を閉じても「この数字はどこの長さか」「比の一つ分は共通か」を説明できたら、手元の教材の一問で同じ点検を試してください。