輪軸では、大きな輪を回すと、小さな軸も一緒に回ります。二つが同じ回数だけ回ることが、力とひもの長さをつなぐ手がかりです。「輪が大きいほど楽になる」とだけ覚えると、どちらのひもを引いているのかが変わった問題で迷います。まず、輪につながるひもと軸につながるひもを色分けするつもりで見てください。
中学入試の計算では、輪軸やひもは軽く、摩擦がなく、ひもが滑らない模型を考えます。太いひもが何重にも巻かれて半径が増す場合は別の条件です。ここでは常に同じ半径で巻き取るものとします。
同じ一回転でも、動く長さは違う
輪の半径が12cm、軸の半径が4cmなら、半径の比は3対1です。一回転すると、それぞれの円周分だけひもが動きます。円周は直径×円周率なので、二つの円周の比も3対1になります。回転数が同じでも、ひもの移動距離まで同じにはなりません。
大きな輪のひもを60cm引く間に、小さな軸のひもは20cm動きます。一回転に満たない操作でも、同じ角度だけ回るならこの比を使えます。円周率を毎回計算する必要はありません。半径の比を先に約分すると、数字の意味を保ったまま計算が短くなります。
力は、距離と逆の比になる
軸側に300gのおもりを下げ、輪側のひもを引いて静かに支えるとします。軸から遠いところで引くほど、回そうとする働きが大きくなります。てこと同じように、力の大きさに半径をかけた値を両側でそろえます。
輪側の力×12＝300gのおもりの重さに相当する力×4です。輪側は100gのおもりの重さに相当する力になります。ここでgは力そのものの単位ではなく、おもりの重さを比べる表し方です。答案でも「何gのおもりに相当する力」と読めるようにしておきましょう。
引く力は3分の1になりましたが、引く距離は3倍です。おもりを10cm上げるには、輪側のひもを30cm引きます。力も距離も両方3分の1にしてしまうと、同じ一回転で動く円周の関係に合いません。力の式で答えを出したあと、距離の比を別の行に書くと混同を防げます。
巻く向きと半径の読み間違い
図のひもが右側にあるか左側にあるか、上から巻かれているか下から巻かれているかによって、おもりが上がる向きは変わります。回転方向を決めずに「引けば上がる」と考えないでください。輪の外周の一点に印を付け、その点の動きにひもがついていく様子を追います。
問題が直径を与えていても、両方とも直径なら比は同じです。しかし輪は直径、軸は半径という書き方なら、そのまま12対4とはできません。図中の線が中心から円周までか、円を端から端まで横切っているかを見ます。単位だけでなく、測っている区間までそろえるのが大事です。
もう一つ、軸におもりを下げるという条件が逆になれば、必要な力の大小も逆になります。小さな軸側を引いて大きな輪側のおもりを持ち上げる配置では、小さい力で済むとは限りません。道具の名前ではなく、入力する側と持ち上げる側の半径を対応させてください。
例題1：力と距離を両方求める
輪の半径は15cm、軸の半径は5cmです。軸のひもに600gのおもりを下げ、輪のひもを引いて静かに持ち上げます。必要な力は何gのおもりの重さに相当しますか。また、おもりを8cm上げるには何cm引きますか。摩擦などは無視します。
答え・解説： 半径の比は3対1。必要な力は600÷3＝200gのおもりの重さに相当します。距離は逆に3倍なので8×3＝24cmです。200と24は、それぞれ力と長さを表す異なる量です。600×8と200×24が一致することも、模型の条件での確認になります。
例題2：直径と半径が混ざる
輪の直径が24cm、軸の半径が3cmの輪軸で、輪側のひもを40cm引きました。軸側のおもりは何cm上がりますか。軸側に280gのおもりがあるとき、支えるための輪側の力も求めましょう。
答え・解説： 輪の半径を12cmに直し、12対3＝4対1を使います。おもりは40÷4＝10cm上がり、力は280÷4＝70gのおもりの重さに相当します。24対3として計算すると、どちらも半分の誤った値になります。計算前に半径へ書き直した一行が、二つの間違いを防ぎます。
輪軸の復習では、半径、力、距離の三行の表を作ってみてください。半径と距離は同じ比、力は逆の比です。同じ装置の中で二種類の比例関係があることを見分ければ、丸暗記した数字に頼らず配置が変わっても考えられます。
回転の中心が移動しないことも輪軸の条件です。動滑車のように道具全体が上下する図とは、ひもの長さを数える出発点が異なります。丸いものが描かれていても、中心に固定具があるか、中心そのものが動くかを先に見ます。輪軸という名前を見つけるより、この支え方を図から読み取る練習をしておきましょう。