天びんの左右がつり合えば、載せた物の重さも同じでしょうか。それは、支点から左右の皿までの距離が等しいときの話です。腕の長さが違う天びんでは、軽い方を長い腕に載せてもつり合います。「つり合った」という観察から、そのまま重さが等しいと決めないことが大切です。
中学入試のてこの発展問題では、天びんの腕の長さがわからないまま、左右を入れ替えた二回の測定を示すことがあります。この場合、二つの測定値を足して2で割ればよいわけではありません。左右を交換すると、距離の比が逆になることを利用します。
皿を含む装置自身の影響を先に取り除く
この記事では、物を載せていない状態で装置が水平につり合うように調整され、棒や皿がつくる回転の働きは打ち消されているとします。左右の腕の長さは測定中に変わらず、物や分銅は決められた位置に載せます。
この条件がないと、載せた物どうしだけの式では表せません。左右の皿の重さまで違い、その影響が残ったままなら、皿がつくる働きも加える必要があります。「空の状態で調整した」という文章は飾りではなく、何を計算から省いてよいかを指定しています。
腕が長い側は小さな重さでつり合う
左の腕を10cm、右を15cmとします。左に60gの物を載せたとき、右に必要な分銅は60×10÷15＝40gです。右の方が長いため、60gより少ない分銅でつり合います。
同じ物を右へ移すと、今度は60×15÷10＝90gの分銅を左へ置く必要があります。同じ物なのに40gと90gという二つの値が出ますが、物が変化したのではありません。物と分銅が使う腕の位置が変わったのです。
この例では、40gと90gの平均は65gになり、本当の60gと一致しません。短い腕で起きるずれと、長い腕で起きるずれは、同じgだけ増減する関係ではないためです。左右で誤差が相殺される、と言うなら、何をどう計算したときに相殺されるのかまで説明する必要があります。
例題1：二回の記録から重さを見つける
腕の長さが異なる天びんで、同じ物を量りました。物を左へ載せたとき右の分銅は40g、物を右へ載せたとき左の分銅は90gでつり合いました。装置自身は調整済みです。物の重さは何gですか。
答え・解説： 二回の分銅の重さを掛けると40×90＝3600です。この値は、物の重さを二回掛けたものと等しくなります。60×60＝3600なので、物は60gです。平方根の記号を知らなくても、「同じ数を二回掛けて3600になる数」を探せば求められます。
理由を比で確認します。一回目は、物が分銅の何倍かが「右の腕÷左の腕」に等しくなります。二回目では同じ比が逆になります。物の重さに掛かった倍率と、その逆の倍率を掛けると1になるため、二つの測定値の積には腕の比が残りません。
二つの式を絵へ戻して確かめる
左の腕をL、右をR、物の重さをMと書けば、一回目はM×L＝40×R、二回目は90×L＝M×Rです。二つの関係から、M÷40と90÷Mが等しいので、M×M＝40×90になります。
文字が苦手なら、答えの60gを使って、腕の比が両方とも同じになるか検算しましょう。一回目からL：R＝40：60＝2：3。二回目からL：R＝60：90＝2：3です。異なる腕を使っているのに、同じ天びんとして説明できているかを確かめられます。
例題2：測定値の平均を使えない理由
別の天びんでは、同じ物を左右に交換すると、分銅が64gと100gでつり合いました。本当の重さと、二つの値の平均をそれぞれ求め、違いを説明しなさい。測定中の腕の長さや調整状態は変化しません。
答え・解説： 64×100＝6400、80×80＝6400なので本当の重さは80gです。平均は（64＋100）÷2＝82gです。80gに対し、64gは0.8倍、100gは1.25倍で、0.8×1.25＝1になります。一方、差は16g減と20g増で等しくないため、足して割る方法では元に戻りません。
この二回からわかるのは腕の長さの比です。腕が8cmと10cmなのか、16cmと20cmなのかまでは決まりません。比だけから実際の長さを作って書かないようにしてください。
入れ替えるものを図で固定する
左右交換では、物だけでなく分銅の載る側も反対になります。前の図の分銅を残したまま物を移した絵にしてしまうと、別の条件になってしまいます。二回分の図を上下に描き、支点、左の距離、右の距離は同じ位置へそろえましょう。
この解き方は、調整済みで腕の比が一定という模型に基づきます。摩擦や載せる位置のずれまで消える万能な測り方ではありません。式の形だけを覚えず、二回とも同じ装置の条件を保っていることを確認する。それが、てこを測定の問題へ使うときの要点です。