棒の両端を二つのばねばかりで支え、棒の上の荷物を右へ動かします。荷物の重さは変わりませんが、左右のばねばかりの読みは変わります。全体の重さを同じまま支えながら、左右の受け持つ割合が変わるからです。
中学入試のてこの計算では、回す働きのつり合いと、上向き・下向きの力のつり合いを使い分けます。本稿では一様な棒を水平に保ち、左右の端を鉛直上向きの力で支える模型を扱います。力の大きさは、何gのおもりの重さに相当するかという表示で示します。
二つの読みを足すと、何の重さになる？
棒と荷物が静止していれば、二つのばねばかりが上へ引く力の合計は、棒と荷物の重さの合計に等しくなります。棒100g、荷物200gなら、左右を足すと300g相当です。荷物を右へ動かしても、両方の読みを足した値は300のままです。
ここで「だから左右150ずつ」と決めることはできません。合計が分かっただけで、内訳はまだ決まっていないからです。左右への分け方を決めるために、荷物がどこにあるかを使います。
棒自身の重さも、左右へ分担されます。一様な棒なら重心は中央です。中央に重さ100gのおもりがあると考えて、棒の重さを計算に加えます。棒を支えているから棒の重さは無視できる、という意味にはなりません。
左端を回転の中心として考える
長さ60cmの棒の右端を、右のばねばかりが上へ引きます。左端を基準にすれば、その力は60cm離れたところにあります。一方、棒の重さは中央の30cm、荷物は置いた位置までの距離で、逆向きに回す働きをします。
荷物200gが左から45cmなら、右の読み×60＝100×30＋200×45です。右の読みは200g相当となります。左の読みは合計300から右200を引いて100g相当です。
左のばねばかりの力を式から省けるのは、左端を回転の中心に選び、そこからの距離が0だからです。左の力が存在しないわけではありません。回す働きの式に出ない力も、上下の力の合計には入ります。
荷物を動かすと、増える分と減る分がそろう
同じ荷物を中央より右へ動かすと、右端から支える力が増え、左端から支える力は減ります。合計は一定なので、右が20g相当増えたなら左は20g相当減ります。両方とも増えたという答えなら、重さが増える別の操作がないか見直します。
左右の読みの差だけで荷物の重さを答えることもできません。例えば中央に荷物を置けば差は0ですが、荷物がないという意味ではありません。差は位置による分担、和は全重量を表す、と区別してください。
例題1：二つのばねばかりの読み
長さ60cm、重さ120gの一様な棒を、両端で水平に支えています。左端から20cmの位置に180gの荷物を置きました。左右のばねばかりの読みを求めましょう。
答え・解説： 左180g相当、右120g相当です。左端を基準にすると、右の読み×60＝120×30＋180×20＝7200です。7200÷60＝120。上下の力の合計から左は120＋180−120＝180となります。
荷物が左寄りなので、左の読みが大きいという見通しとも一致します。右端を基準に検算するなら、左180×60と、棒120×30＋荷物180×40が等しくなることを確かめられます。距離20と40の取り違えにも気づけます。
例題2：読みから荷物の位置を求める
長さ80cm、重さ160gの一様な棒の両端を水平に支え、240gの荷物を置きます。右の読みが260g相当になりました。荷物は左端から何cmの位置ですか。左の読みも求めましょう。
答え・解説： 左から60cm、左の読みは140g相当です。右の力が回す働きは260×80＝20800。棒自身の分は160×40＝6400なので、荷物の分は14400です。14400÷240＝60cmになります。左右の合計は400なので、左は400−260＝140です。
右の読み260が荷物240より大きくても、誤りではありません。右のばねばかりは荷物だけでなく棒の重さも一部支えています。何を支える力なのかを、図の中で囲んで確かめましょう。
求めた位置が棒の範囲にあるか確認する
この模型で荷物を棒の上に置いたなら、位置は左端から0cm以上、棒の長さ以下に入ります。計算で棒の外へ出たときには、読みの値、距離の基準、棒の重さの扱いを見直します。
また、下から置いた支えは棒を下向きに引けません。計算上、一方の支持力が負になる配置をそのまま「下向きに支える」と説明せず、浮き上がるなど条件が変わる可能性を考えます。本稿の例題は、両方が上向きの力で支えられる範囲にしています。