てんびんが水平になれば、左右に載せた物は同じ重さ。そう言えるのは、支点から皿までの距離などの条件がそろっているときです。左右の腕の長さが違う模型では、分銅の読みをそのまま物体の重さにしてはいけません。それでも、置き換える場所を固定すれば、本当の重さを調べられます。
ここでは水平な棒の左右に皿をつるす模型を考えます。棒と空の皿による回転の働きは、あらかじめ調整して打ち消してあるものとします。摩擦は無視し、物体も分銅も皿の決まった位置に載せます。普通の上皿てんびんの使用手順ではなく、てこのつり合いを試す中学入試向けの設定です。
皿の重さより先に、支点からの距離を見る
左の腕が12cm、右が8cmなら、左へ80g、右へ120gを載せたときに、80×12と120×8がともに960になります。長い腕の側は小さな重さでも同じ回転の働きをつくれます。
ここで「水平だから80と120が等しい」と考えるのは誤りです。等しいのは重さそのものではなく、重さと腕の長さを掛けた量です。左右の距離を図へ書いてから、分銅の数字を読む順序にします。
腕が長い側に物体を置くと、反対の短い側には大きな分銅が必要です。分銅の値が物体より大きく出るか小さく出るかも、計算前に予想できます。大小関係を考えると、比を逆にしてしまったミスに気づきやすくなります。
同じ皿で物体を分銅へ置き換える
左皿の物体と、右皿の砂袋で水平をつくったとします。その後、右の砂袋は動かさず、左の物体だけを取り除き、左皿へ分銅を載せて再び水平にします。
最初と最後で、右側の回転の働きは同じです。左側も皿の位置が同じなので、必要な重さは変わりません。このとき左に載せた分銅の合計が、取り除いた物体の重さになります。腕の長さが違うという問題を、置き場所を変えないことで取り除く考え方です。
砂袋の重さを知らなくてもよい点にも注目してください。比較に使う物の値を全部調べる必要はありません。同じ状態を保てるなら、未知の砂袋を共通の相手として利用できます。ただし途中で砂がこぼれたり、載せる位置がずれたりしてはいけません。
例題1：120gの分銅とつり合った物体
左の腕12cm、右の腕8cmの模型で、左に置いた物体が右の120gの分銅とつり合いました。物体の重さを求めてください。また、右の分銅をそのままにして左の物体を分銅へ置き換えると、左には何g必要ですか。
答え・解説：物体は80g、置き換える分銅も80gです。 右側の回転の働きは120×8＝960。左の腕は12cmなので、960÷12＝80gです。置き換え後も同じ12cmの位置だから80gでつり合います。
120gという読みは、右の短い腕に載せた値です。物体を量りたいからといって、その数字だけを答案に写さないようにします。80×12＝120×8と書けば、どこで比が生じたかを説明できます。
左右を交換すると誤差も反対向きになる
同じ物体を、今度は右皿へ置いて左に分銅を載せると、必要な分銅は前とは違います。物体が短い腕の側へ移ったため、長い腕の分銅は少なくて済みます。
この二つの読みを足して2で割れば本当の値になる、と決めつけないでください。腕の比によって一方は大きく、一方は小さくなりますが、その差が同じ大きさとは限りません。長さを使って両方の記録を確かめる必要があります。
例題2：二度の読みを平均してよいか
左の腕10cm、右の腕8cmの模型があります。同じ物体を左へ置くと右の分銅100gで、物体を右へ移すと左の分銅64gで、それぞれつり合いました。本当の重さは82gと考えてよいでしょうか。
答え・解説：平均の82gではなく80gです。 一回目から100×8÷10＝80g。二回目から64×10÷8＝80gとなります。100と64の平均は82ですが、腕の違いで生まれる倍率が逆数の関係なので、単純な平均では元の値へ戻りません。
二度の測定を行った目的は、値を機械的に平均することではありません。それぞれの配置で同じ80gを説明できるか確認することです。図に載せる場所を描き直すと、数字だけの計算で混乱しにくくなります。
置き換えで保つものを言葉にする
記述問題なら「同じ場所だから」だけで止めず、反対側の重さと位置、比べる側の腕の長さが変わらないため、と説明します。最初と後で何が固定されたかが理由の中心です。
棒自体の重さを打ち消していない設定や、皿のつるし位置を移す設定では、その働きも含めて考え直します。図を見ずに置き換え法という名称だけで解くのではなく、変えた物と変えなかった物を一つずつ確かめましょう。
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