小さなピストンを押すと、大きなピストンが重い物を持ち上げる。油圧の図を見ると、「小さな力が大きな力になる装置」と覚えたくなります。しかし、大きな力を出せることと、大きな距離を動かせることは別です。中学受験の力の問題として読むなら、押す面の広さと、押し出した液体の体積を二段階に分けて考えましょう。ここでは、油が漏れず、ほとんど縮まず、ピストンの摩擦を無視できる模型を使います。
同じなのは、力そのものではない
密閉された液体の一部に加えた圧力の変化は、液体を通じて各方向に伝わります。これがパスカルの原理です。圧力は、単位面積当たりに面を押す力です。「力÷面積」で比べる量なので、圧力が同じでも、受ける面積が違えば、面全体に働く力は違います。
狭い面を押した力が、そのまま同じ大きさで広い面に現れると考えてはいけません。同じ広さの小片を何枚も並べた面を想像してください。一枚ごとに同じだけ押すなら、面全体の力は枚数が多い方で大きくなります。広いピストンで大きな力が得られることを、面積の違いから説明できます。
断面積と、直径を取り違えない
円形のピストンの図で、直径が2倍になっていたら、面積も2倍でしょうか。円の面積は直径の二乗に比例するので、面積は4倍です。図に示された数字が「直径」なのか「断面積」なのかを見落とすと、その後の力も動く距離もずれてしまいます。
円の計算を入れない例題では、初めから断面積を与えることがあります。そのときは、書かれている面積を使えばよく、もう一度二乗しません。単位がcmなのかcm²なのかまで読んで、比較するものをそろえましょう。また、ピストンの高さが大きく違うと液体自身の重さによる圧力差も関係するため、ここではその影響を無視する条件にしています。
押し込んだ液体は、どれだけ移ったか
液体が漏れず、体積が変わらないなら、小さい側で押し出した体積と、大きい側へ入る体積は同じです。円柱の体積は「断面積×高さ」なので、ピストンが動く距離も、この関係で求められます。大きな面積を少し動かすだけで、多くの液体が必要になります。
反対に、狭い側を大きく動かしても、押し出せる体積は面積との掛け算で決まります。面積が4倍の側を押し上げるなら、動く距離は4分の1です。「力が4倍だから距離も4倍」という読み方では、液体が途中で増えたことになってしまいます。力の図を読んだあと、同じ装置を体積の図として読み直すのがポイントです。
例題1 広いピストンに働く力
二つのピストンの断面積は、小さい側が3cm²、大きい側が12cm²です。小さい側を6Nで押して、つり合った状態を考えます。液体の高さの違い、ピストン自体の重さ、摩擦、大気圧の差の影響は無視します。大きい側で得られる力は何Nでしょうか。Nは力の単位です。
答え・解説： 面積は12÷3＝4倍なので、力は6×4＝24Nです。小さい側は1cm²当たり6÷3＝2Nで押しています。同じ圧力が12cm²の面に働くので、2×12＝24Nとしても求められます。二つのピストンで同じなのは、この条件での圧力です。6Nという力が、そのまま両方に共通するわけではありません。
例題2 小さい側を8cm押したら
例題1の装置で、小さいピストンを8cm押し込みました。液体の体積は変わらず、漏れもありません。大きいピストンが上がる距離を求めてください。また、模型で「力×動く距離」を両側について計算すると、どうなりますか。
答え・解説： 小さい側で押し出した体積は3×8＝24cm³です。大きい側では断面積が12cm²なので、上がる距離は24÷12＝2cmです。力と距離の積は、小さい側が6×8＝48N・cm、大きい側が24×2＝48N・cmで等しくなります。これは損失を考えない模型の結果です。大きい力を得た分だけ距離が短くなり、力と距離を両方とも都合よく増やせるわけではありません。
装置が違っても、条件を図に戻す
実際の油圧装置にはポンプや弁などがあり、この二つのピストンだけの図より複雑です。また、摩擦などによる損失もあります。簡単な図で求めた値を、現実の機械の性能としてそのまま言い切らないようにします。例題で身につけたいのは、圧力から力を、体積から距離を決めるという読み分けです。
力と距離の組合せは動滑車のひもの移動とも比べられます。液体の深さによる違いは水圧と水面からの深さで別に確認し、どの影響を無視してよい模型なのか、問題の条件へ戻って考えてください。