一枚の円板に二つの印をつけて回します。中心に近い印も、ふちに近い印も、同時に一周して元の場所へ戻ります。それなら速さも同じでしょうか。一秒に何cm進むかという速さは、外側の印の方が大きくなります。同じ時間に通る円周が長いからです。
一周の回数と、通った長さを分ける
まず、二つの印が円板に固定されている様子を描いてください。円板が一回転する間に、片方だけ二回転することはありません。同じ円板の上なら、回転数と一周にかかる時間は共通です。しかし中心からの距離が違うと、印が通る円の大きさが違います。中心から十cmの印と二十cmの印では、外側の円周は内側の二倍です。
ここで「外側は速いから先に一周し終わる」と考えると、円板がねじれたような説明になります。外側は長い道を、その長さに見合う速さで進むので、帰ってくる時刻がそろいます。歩く人の競走のように速さだけを独立に決める場面とは違うのです。回転運動の図では、同じ板に固定されているという条件が、強い手掛かりになります。
円周から速さを作る
円周は直径×円周率で求めます。半径が与えられたら、まず二倍して直径にするか、半径×二×円周率と書きます。一周の長さを一周の時間で割れば、円周に沿って進む速さになります。たとえば円周が六十二・八cm、一周四秒なら、六十二・八÷四＝十五・七cm毎秒です。
中心から同じ距離にある印なら、円板のどの方向についていても速さの大きさは同じです。ただし、その瞬間に進む向きは違います。円の上を動くため、進む方向は次々に変わっています。今回は向きまで含めた量ではなく、道のりを時間で割った速さを扱います。「速さ一定」と「まっすぐ進む」を同じ意味にしないでください。
回転数の単位をそろえる
一分間に三十回転と、一秒間に三十回転では六十倍違います。一分に三十回転なら、一回転にかかる時間は六十÷三十＝二秒です。円周が分かっているなら、円周×三十で一分間の道のりを出し、六十で割って毎秒の速さへ直してもかまいません。どちらの順でも同じ答えになることを確かめましょう。
また、円板そのものが床の上を転がっている問題では、中心も移動します。今回のように中心を固定して回す場合とは、地面から見た印の動きが違います。車輪が転がって進む距離の式を、そのまま固定円板の問題に当てはめないでください。図の中心が止まっているかどうかを、計算前に丸で囲むつもりで確認します。
例題1 二つの印の速さ
中心を固定した円板が四秒で一周します。印Aは中心から十cm、印Bは中心から二十五cmの位置にあります。円周率を三・一四として、それぞれの速さをcm毎秒で求めてください。
答え・解説： Aの円周は十×二×三・一四＝六十二・八cmなので、速さは十五・七cm毎秒です。Bは二十五×二×三・一四＝百五十七cmを四秒で進むため、三十九・二五cm毎秒です。Bの半径はAの二・五倍で、速さも二・五倍です。図の半径比と答えの比がそろうことを確認します。
例題2 同じ速さになる位置
円板Pは一分間に三十回転し、中心から二十cmのところに印があります。別の円板Qは一分間に六十回転します。Qの印を中心から何cmに置けば、Pの印と同じ速さになりますか。どちらの中心も固定されているとします。
答え・解説： 十cmです。一分間に通る道のりは、半径×二×円周率×回転数です。Qの回転数はPの二倍なので、同じ道のりにするには半径を半分にします。二十×三十＝十×六十と、共通の二と円周率を除いても確かめられます。
歯車の問題との違いを見つける
かみ合う二つの歯車では、接点を通る歯の動きが対応し、大きな歯車と小さな歯車で回転数が変わります。今回の二点は同じ円板に固定されているので、共通なのは回転数です。似た丸い図でも、何でつながっているかによって共通の量が違います。丸が描いてあるだけで歯数の反比例を使わないようにしましょう。
解き直しでは、同じ時間に印がどこまで動くかを四分の一周だけ描くのも有効です。どちらも九十度だけ回りますが、外側の弧の方が長くなります。角度がそろっていることと、道のりがそろっていることの違いが、式にする前から見えてきます。
中心の印を考えると区別がはっきりする
中心ぴったりに印を置いたらどうでしょう。中心を固定しているので、その印が進む道のりはゼロです。円板は回転していても、中心の点の移動速度はゼロになります。円板全体の回転数と、ある一点が動く道のりが別の量であることが、極端な位置でよく分かります。半径を小さくしていくほど速さも小さくなり、中心でゼロへつながる。この連続した変化を想像すると、外側ほど速いという答えが丸暗記ではなくなります。