車輪が10回転した、と聞けば進んだ距離も分かりそうです。でも、車輪を持ち上げて回しても台車は前へ進みません。地面の上で回っていても、滑れば一回転分の円周と移動距離は一致しません。まず「滑らずに転がる」と指定されているかを探します。
中学入試で車輪の回転を扱うときは、円の計算と運動の条件がセットになります。本稿では車輪の中心が進んだ道のりを求めます。タイヤに付けた一点が空間を描く曲がった道筋とは、測る対象を分けておきましょう。
円周を地面へほどく
円周60cmの車輪が滑らず一回転すると、接していた円周が順に地面へ移り、中心は60cm先に進みます。二回転なら120cm。回転数が半回転なら30cmです。車輪を紙に転がして印を付けると、同じ印が再び地面へ触れる場所の間隔として円周が見えます。
したがって道のりは円周に回転数を掛けます。円周が分からず直径が指定されれば、先に直径×円周率で円周を求めます。半径を直径のつもりで使うと答えが半分になるので、円の図には中心と両端を描いて確認します。
回転数の単位にも注意が必要です。毎秒二回転は十秒間で二十回転。毎分百二十回転も毎秒二回転ですが、「120」をそのまま十秒に掛けると六十倍の誤りになります。回転数そのものと、一定時間あたりの回転の速さを別の欄に書きます。
左右に二つあっても距離を足さない
同じ大きさの車輪が左右に一つずつ付いた台車では、直進中、両方の中心が同じ道のりを進みます。右が12m、左が12mなら、台車も12mです。二つ合わせて24mという答えは、台車の移動と二輪の転がった長さの合計を混ぜています。
大きさの違う二輪を別々の軸で使い、同じ直線を滑らず進める模型なら、小さい車輪ほど回転数が多くなります。これはベルトでつながれた滑車の回転を求める話と似ていても、共通になる量が「地面に対する移動距離」である点を明示します。実物の構造によっては自由に回れないので、軸の条件も読みます。
例題1｜小さい車輪は何回転？
円周60cmの車輪Aが滑らずに20回転しました。同じ距離を円周40cmの車輪Bも滑らずに進みます。道のりとBの回転数を求めましょう。
答え・解説： 道のりは60×20＝1200cm、つまり12mです。Bは1200÷40＝30回転。円周がAの三分の二なので、必要な回転数は三分の二ではなく二分の三、すなわち1.5倍になります。小さい円周を多く並べる、と考えると逆数にする理由が分かります。
ここで使った「同じ距離」は、同じ時間より強い手掛かりです。二台が同時に走り出しても、速さが違えば進む距離は違います。問題文がそろえた量を、こちらの都合で別の量へ置き換えてはいけません。
空回りの割合は定義を読む
「二割滑る」という言い方だけでは、何の二割か曖昧です。実際の距離が円周×回転数の八割になるのか、余分な回転数が全体の二割なのか、記録の定義が必要です。本稿では、空回りを含むと実際の道のりが理想値より短くなる場合を扱います。
車輪を固定して床上を滑らせれば、今度は回転数ゼロでも道のりが生じます。滑る運動一般で、必ず回転から求めた距離より短くなるわけではありません。「駆動輪が空回りした」という状況まで付けて比較するのが正確です。
例題2｜理想値との差を読む
円周50cmの駆動輪が40回転したと記録されましたが、台車の実際の道のりは16mでした。実際の距離は滑らない場合の何％ですか。車輪の記録だけで、この16mを予測できたでしょうか。
答え・解説： 理想値は50×40＝2000cm＝20mなので、16÷20×100＝80％です。差は4m、理想値の20％です。しかし空回りの程度が事前に与えられていなければ、40回転という記録だけから16mとは予測できません。ここでは別に測った距離から割合を求めています。
センサーが数えたものへ戻る
車輪に磁石を一つ取り付け、一回転ごとに信号を出す模型なら、信号数を回転数として距離を換算できます。ただし観測開始時の半端な角度や、信号の取りこぼしがないという条件が必要です。磁石を二つ等間隔に置いた装置で同じ計算をすれば、信号数を二で割る段階が増えます。
距離計が表示した数字も、円周の設定値と滑らないという仮定に支えられています。計算の最後に「測ったのは回転、求めたのは距離」と一行書いてみてください。測定値と換算値を区別できれば、条件が変わる発展問題でも立ち止まる場所が分かります。