中学受験理科｜はずみ車にためるエネルギー｜回転数と使える量を分ける

重い円盤を高速で回しておき、必要なときに発電へ利用する装置があります。はずみ車に蓄えられるのは回転の運動エネルギーです。回っている間ずっと同じ量を取り出せるのではなく、取り出すと回転が遅くなります。回転数が半分になったから、残るエネルギーも半分と考える前に、問題文の関係を読みましょう。

中学入試でこのような装置が出てきても、回転の専門的な公式を覚える必要はありません。同じ円盤ならエネルギーが回転数の二乗に比例する、という規則を資料として受け取り、表へ直して使います。円盤の形や重さが変わる比較には、そのまま流用しません。

回転数は速さ、エネルギーは取り出せる量

一分間に何回転するかという記録は、回る速さを示します。一方、何Jを蓄えているかは、その運動を使って仕事をできる量です。同じ毎分1000回転でも、小さい円盤と大きい円盤では蓄えた量が違います。「速く回る」という言葉だけで容量を決めないことが出発点です。

ここでは一つの円盤を使い続ける模型に限ります。回転数が2倍なら蓄えた量は4倍、3倍なら9倍という対応です。逆向きに回しても、回転の速さと円盤が同じなら運動エネルギーの大きさは変わりません。ただし、回転方向は発電装置の働きと別に確認する情報であり、無視してよいという意味ではありません。

同じ円盤を比較する例題1の規則。減少量全部が発電量とは限らない。

停止まで使えるとは限らない

装置がある回転数より遅くなると、目的に合う電気を取り出せなくなる設定も考えられます。その場合、最初に蓄えた全量を利用可能量と呼んではいけません。動作を止める回転数のときに残る量を引きます。水槽に水が残っていても、取水口より下の水を取り出せないのと似た区別です。

エネルギーの差を求めた後、発電の効率があれば、差にその割合を掛けます。「最初の量×効率」ではありません。最後に円盤に残る分と、変換の途中で熱などになる分は、別の箱に分けると追いやすくなります。

例題1｜回転数が半分になるまで使う

同じ円盤について、回転のエネルギーは一分間の回転数の二乗に比例するとします。毎分1200回転のとき800Jを蓄えています。毎分600回転になったときの残量と、それまでに減った量を求めてください。途中の補給はありません。

答え・解説： 回転数の比は600÷1200＝1/2です。残量の比は1/2×1/2＝1/4なので、800×1/4＝200J。減ったのは800−200＝600Jです。半分になるのは回転数であり、残量は四分の一になります。減った600Jが全部電気になるかは、この条件だけでは決まりません。

例題2｜使える回転数に下限がある

同じ規則に従う装置が、毎分2000回転で1000Jを蓄えています。毎分1000回転で使用を打ち切り、減ったエネルギーの80％を電気として取り出せます。取り出せる電気は何Jですか。また、使用を打ち切った後も円盤には何J残っていますか。

答え・解説： 打ち切り時は回転数が半分なので250J残ります。減った量は1000−250＝750J。その80％は600Jです。変換で電気にならない量は150Jで、円盤の残量250Jとは別です。600＋150＋250＝1000と戻して、三つの行き先がそろうことを確かめます。

二乗の表は、途中を直線で結ばない

回転数が半分で残量四分の一という対応を読んだ後、回転数が四分の三なら残量も四分の三、と戻ってしまうことがあります。四分の三を二回掛けるので、残る割合は16分の9です。数字が扱いにくければ、回転数を0、1、2、3とした表と、エネルギーを0、1、4、9とした表を並べましょう。

「回転数が一定ずつ減る」という条件と、「毎秒同じエネルギーを取り出す」という条件も同じではありません。例題では前者の時間変化を与えていないので、何秒使えるかは求められません。時間を知るには、毎秒何J取り出すかなどの追加条件が必要です。量が計算できたことから、時間まで分かったと広げないことが大切です。

実際のはずみ車では、空気抵抗や軸の摩擦などで、何も利用しない間にも回転が弱まることがあります。そのため「回転が遅くなった分は全部役に立った」とは限りません。待っている間の損失と、発電に渡した分を区別すれば、蓄える装置の性能を一つの数字だけで判断せずに済みます。

回転を止めた後のゼロを確認する

蓄えている量の表では、完全に静止した同じ円盤を回転エネルギーのゼロとして考えます。装置の表示がゼロになったときに円盤も停止しているかは、表示の定義によります。使用可能量だけを表示する計器なら、下限の回転数で表示がゼロでも円盤自体は回っていることがあります。物理的な残量と、利用できる残量を分ける練習になります。

二つの回転数の二乗の差を使う場合、先に回転数の差を出してから二乗するのは別の計算です。例えば3から2へ変わる模型なら、エネルギーの減少は9−4＝5の単位であり、(3−2)²＝1ではありません。始めと終わりをそれぞれエネルギーへ変換してから引く手順を守ります。

単位を毎秒回転へ直す場合は、両方の回転数を同じ単位にそろえます。比だけなら毎分1200と600をそのまま比べてよく、途中で片方だけ60で割る必要はありません。速さの単位と量の単位Jを別の列に置き、どの規則を使って行き来したかを矢印に書いておきましょう。