金属でできた箱が水に浮いています。同じ金属の小さなかたまりは沈むのに、なぜ箱は浮けるのでしょうか。箱の中の空洞まで含めた体積と、金属そのものが占める体積が違うからです。密度の計算で何を割っているのか、先に囲む範囲を決めます。
中学入試では、重さと外側の体積から空洞の大きさを求めたり、水に浮く条件を考えたりします。本稿はふたが閉じ、水が入らず、形が変わらない箱を扱います。中の空気の重さは無視できる条件にします。
材質の密度は、金属部分だけの体積で割る
ある金属の密度が3g/cm³なら、その金属1cm³の重さが3gという意味です。金属60gが使われていれば、金属部分は60÷3＝20cm³です。空洞は金属ではないので、この20cm³へ混ぜません。
外側から見た箱全体が100cm³なら、内側の空洞は100−20＝80cm³になります。この引き算では、外側の体積に金属と空洞の両方が含まれていることが根拠です。
箱全体の平均密度は60÷100＝0.6g/cm³です。材質は3、箱全体は0.6で、どちらも正しい値です。「密度が変わった」というより、金属だけを対象にした計算と、空洞込みを対象にした計算を分けているのです。
水を押しのける体積は、外側の形で決まる
水が入り込まない箱を沈めると、金属の中だけでなく、空洞の場所にも水は入れません。したがって箱の沈んだ部分の外形にあたる体積だけ、水を押しのけます。浮力を計算するときに金属20cm³だけを使うと、空洞が水の侵入を防いでいる効果を落とします。
水の密度を1g/cm³とすれば、重さ60gの箱が静かに浮くとき、押しのける水は60g、体積60cm³です。外形100cm³のうち60cm³が水中に入ればつり合います。
ただし、体積の60％が沈むことと、高さの60％が沈むことは一般には同じではありません。箱の上下で断面積が一定の場合に、高さの割合へそのまま直せます。上が広い形なら、体積と高さの関係を別に求めます。
空洞があれば必ず浮くわけではない
外側100cm³でも重さが120gなら、全体を沈めて得られる浮力は水中で最大100g相当です。重さを支えきれないため、空洞があっても浮いて静止することはできません。
中が空であることだけを理由にせず、全重量と、外形から得られる浮力を比較します。厚い金属壁や重い中身があれば、空洞の割合が大きく見えても沈む場合があります。
例題1：空洞の体積と沈む割合
密度4g/cm³の材質だけでできた密閉箱があります。箱の重さは120g、外側の体積は200cm³です。空洞の体積と、水に浮いたとき水中にある体積を求めましょう。水の密度は1g/cm³です。
答え・解説： 空洞170cm³、水中の体積120cm³です。材質部分は120÷4＝30cm³なので、空洞は200−30＝170cm³。浮いているときは120gの水を押しのける必要があり、その体積は120cm³になります。
30と120は、どちらもcm³ですが対象が違います。前者は箱の壁を作る材質、後者は箱が水中に占める外形です。同じ単位だから同じ量だとは考えず、答えの横に言葉を添えます。
例題2：入れられるおもりの上限
外側の体積300cm³、箱自身の重さ90gの密閉容器があります。外形を変えずに内部へおもりを入れ、全体を水へ浮かべます。水の密度は1g/cm³です。全体がちょうど沈みきるつり合いの境目まで、何gのおもりを加えられますか。
答え・解説： 210gです。全体積300cm³で押しのけられる水は300g。箱とおもりの合計が300gまでなので、おもりは300−90＝210gです。内部にそのおもりが収まる体積はあるものとします。
この境目では水面から出る余裕がありません。実物の船の安全な積載量を決める計算ではなく、一定外形の密閉箱という模型の限界値です。さらに重くすると、底に触れるなど別の支えがなければつり合いません。
水が入る問題は、条件を作り直す
穴が開いて水が入る箱では、密閉した場合と同じ外形だけを使って浮くと判定できません。入った水を箱と一緒に数えるか、水が入り込める空間を押しのけた体積から外すか、対象の取り方をそろえる必要があります。
「金属の密度」「箱全体の平均密度」「水中の体積」を三つの欄へ分けると、材質の値が途中で勝手に変わったように見える混乱を避けられます。数字に先立って、空洞を含める場面かどうかを確かめましょう。