中学受験理科｜沈める深さとばねばかりのグラフ｜傾きから断面積を読む

ばねばかりにつるした物体を水へ入れると、目盛りが小さくなります。そこまでは分かっていても、横軸が「沈める深さ」になると手が止まることがあります。このグラフで読むのは、目盛りそのものに加えて「1cm沈む間に、何g分減ったか」です。その減り方には、水に入る部分の太さが表れています。

横軸は、物体の下端から水面まで

ここでいう深さは、物体の下端から現在の水面までの鉛直な長さです。装置を何cm下げたかと、いつでも同じではありません。細い容器では物体を入れると水面も上がるためです。図や問題文がどこを基準としているかを確認しましょう。

以下の水は1cm³につき1gの質量を持ちます。ばねばかりの目盛りは力をgの重さに相当する値で表しているものとします。水中で1cm³分の水を押しのけると、浮力は1gの重さ相当だけ増えます。物体は水より平均密度が大きく、糸がたるまず、底や壁にも触れません。空気の泡が付かず、動かした後に静止した値を読む条件です。

目盛りの減少を、小さな体積へ直す

底面積が20cm²の角柱なら、1cm分が新しく水へ入るたびに、水中の体積は20cm³増えます。浮力も20gの重さ相当増えるので、ばねばかりは20g分小さくなります。つまり、この条件では「1cm当たりの目盛りの減り方」が、断面積の数値に対応します。

ここで20gを物体の質量が減ったと読んではいけません。物体の質量は同じまま、水が上向きの力を分担しています。空気中の目盛りから水中の目盛りを引いた差が浮力です。グラフが下がっていることと、物体が軽い物質へ変わったことは別です。

例題1。目盛りの減少120g分は、押しのけた水120cm³に対応します。

例題1｜直線と横ばいから形を読む

鉛直につるした角柱について、次の値が得られました。深さ0cmで200g、2cmで160g、5cmで100g、6cmで80g、8cmでも80gです。0～6cmは一直線につながり、その後は横ばいになります。角柱の底面積と高さを求めてください。

答え・解説： 0～2cmで目盛りは40g分減るので、1cm当たり20g分です。増えた水中体積は1cmにつき20cm³、底面積は20cm²です。6cmから先で浮力が増えないのは、角柱全体がすでに水へ入ったからです。高さは6cm。体積は20×6＝120cm³となり、200－80＝120という浮力の差とも合います。

横ばいの80gを体積と取り違えないようにしてください。80gは残っている糸の張力に相当する値です。浮力に対応するのは200gから減った120g分です。また、この横ばいを「底に着いた」と読む必要はありません。問題で底には触れないと指定されています。条件とグラフを両方使って、説明を絞り込みます。

例題2｜途中で太さが変わる物体

段差のある物体を、細い部分を下にして沈めました。空気中で300g、深さ3cmで270g、深さ5cmで230gを示します。0～3cmと3～5cmはそれぞれ直線で、5cmを超えると230gのままです。それぞれの区間にある部分の水平な断面積を求めましょう。

答え・解説： 最初の3cmで30g分減るので、下側の断面積は30÷3＝10cm²です。次の2cmでは40g分減るので、上側は40÷2＝20cm²です。上側が2倍太いことが分かります。全体の体積は10×3＋20×2＝70cm³で、300－230＝70とも一致します。

最初から5cmまでの減少70gを5で割ると14になりますが、それは全区間の平均です。途中の太さを答える問いには使えません。傾きが変わった場所で区間を切り、各区間の縦の変化を、その区間の横の変化で割ります。最後の値だけ見るより、折れ曲がりに注目した方が物体の形を詳しく読めます。

深いほど、いつまでも浮力が増えるわけではない

水中へ全部入った後は、さらに下げても押しのける体積は変わりません。水の密度がほぼ一定で、物体も変形しないこの設定では、浮力は同じです。「水圧は深いほど大きい」という知識と混ざりやすいところですが、浮力は物体の上下などに加わる水圧の差から生じます。全体を深くしただけで、体積が増えるわけではありません。

滑らかな曲線なら、少し沈めるごとに断面積が変化している可能性を考えます。一方、底への接触や糸のたるみがある実験では、同じ読み方をそのまま使えません。入試のグラフでは、線の形だけから結論を急がず、物体の姿勢、糸の状態、容器との接触もセットで確認しましょう。深さ、目盛りの差、増えた体積の三つをつなぐと、グラフが物体の断面図のように読めてきます。