中学受験理科｜合金の密度から割合を求める｜重さと体積の二つの合計

二つの金属を混ぜた物の密度が分かったとき、それぞれの金属が何g入っているか求められるでしょうか。必要なのは、金属ごとの密度と、重さまたは体積の合計です。ただし、混ぜる前の体積を足してよいという条件も必要になります。実際の合金で体積が必ず単純に加算できるわけではありません。

ここでは、混ぜても重さも体積も減らず、中にすき間ができない二金属の模型を扱います。密度とは1cm³当たりの重さです。「密度の平均」をすぐ計算するのではなく、Aの部分とBの部分の体積を別々の箱に書き、合計したときの重さを比べてみましょう。

全部を軽い金属に置き換えると、差が見える

金属Aの密度を8g/cm³、金属Bを4g/cm³とします。同じ1cm³をBからAへ置き換えると、体積は変わらず、重さだけが4g増えます。全部Bでできている場合より何g重いかを求めれば、何cm³がAに置き換わったかを逆算できます。

これは、二種類の物の個数を差から求める算数の考え方と同じです。ただし、この問題で数える一単位は「1個」ではなく「1cm³」です。差を4で割った答えは、Aの重さではなく体積になります。最後に密度を掛けて重さへ戻すところまでが、一つの計算です。

例題1。帯の横幅は体積を表し、AとBの重さの割合は2対1です。体積が加算できる模型です。

密度8g/cm³の金属Aと、密度4g/cm³の金属Bからなる合金があります。全体の体積は20cm³、重さは120gです。両金属の体積は足し合わせられ、すき間はありません。AとBはそれぞれ何cm³、何g含まれていますか。

答え・解説： 20cm³が全部Bなら、重さは4×20＝80gです。実際には120−80＝40g重く、Bの1cm³をAへ置き換えるごとに4g増えます。Aの体積は40÷4＝10cm³、重さは8×10＝80gです。Bは残り10cm³で、4×10＝40gになります。

体積は10＋10＝20cm³、重さは80＋40＝120gとなり、二つの合計がそろいます。AとBの体積は半分ずつですが、重さは半分ずつではありません。重い方のAが全体の重さの3分の2を占めます。「割合」と問われたら、重さの割合なのか体積の割合なのかを最後まで確かめてください。

例題1では体積が等しいため、全体の密度は（8＋4）÷2＝6g/cm³でも求められます。ところが、これをどの混合にも使える公式にしてはいけません。体積が違えば、1cm³当たりの重さへ寄与する大きさも変わります。

同じ重さずつ混ぜる場合は、密度が小さい金属の方が広い体積を占めます。密度の数値を平均してしまうと、等しい重さという条件を、等しい体積という別の条件に読み替えてしまいます。迷ったら一度、具体的な重さを密度で割り、二つの体積を出してみるのが確実です。

同じAとBをそれぞれ80gずつ使いました。体積が加算できる条件は例題1と同じです。合金全体の体積と密度を求めてください。また、Aが占める体積の割合は何分の何ですか。

答え・解説： Aの体積は80÷8＝10cm³、Bの体積は80÷4＝20cm³です。全体は30cm³、重さは160gなので、密度は160÷30＝16/3g/cm³、約5.33g/cm³です。Aの体積の割合は10÷30＝3分の1になります。

同じ80gでも、BにはAの2倍の体積が必要です。そのため、全体の密度は単純平均の6よりもBの密度4へ近づきます。答えの大小をこの関係で確かめられます。計算結果が4より小さかったり8より大きかったりすれば、今回の条件ではどこかに取り違えがあります。

水面の上昇から全体の体積を読むなら、物全体が水中に入り、水に溶けず、水と反応しないことを確認します。大きな空洞や付着した気泡があれば、金属二種類の体積の和とは別の空間まで測ることがあります。その値を使うと、空洞が軽い金属の量のように見えてしまう場合があります。

また、密度の測定値だけで材料の種類まで一つに決めることはできません。同じ密度を作る組合せは複数あり得ます。本稿の逆算ができるのは、材料がAとBの二種類に限られ、それぞれの密度が与えられているためです。三種類目が混ざる可能性まで認めるなら、追加の測定が必要になります。

中学入試の解答では、長い方程式を作る前に「全部Bなら80g」と書けるか試してください。実際との差がどの置き換えによって生じたのかを説明できれば、密度の計算が単位付きの割合として理解できます。体積の内訳を求めた後、重さの内訳も検算する習慣を付けましょう。