山側の雨量計は40mm、平地の雨量計は10mm。地域全体の平均雨量は25mmでしょうか。二つの雨量計が同じ広さの区域を代表しているならそう計算できます。しかし、担当する面積が違えば、単純に二で割ると広い区域の影響を小さく見積もることがあります。
中学入試では、地図の区域ごとに雨量が書かれ、流域全体の水量を考える問題が出ることがあります。そのときは、雨量の平均を先に決めるより、各区域へ降った体積を足してから全体の面積で割ると、式の意味がはっきりします。
雨量は深さ、面積を掛けると体積
雨量1mmは、水が地面へしみこまず横へ流れないとして、深さ1mmにたまる量です。1平方mへ1mmの雨なら、体積は0.001立方m、つまり1Lです。1平方kmなら面積が100万平方mなので、同じ1mmでも1000立方mになります。
区域の雨量が大きくても、面積がとても小さければ、流域全体へ加わる水量は小さい場合があります。雨量の数字をそのまま足すのではなく、どれだけの面積に降った数字かを掛け合わせます。
区域を細かく分けても、同じ雨なら平均は変わらない
30平方kmの区域Aでは一様に40mm、70平方kmの区域Bでは一様に10mm降ったとします。Aを10平方kmずつ三つに分けても、各部分が40mmなら、流域全体の平均は19mmのままです。観測表の行が増えたからといって、Aの影響を大きくする理由にはなりません。
もし40、40、40、10の四つを単純に平均すると32.5mmとなり、前の19mmと食い違います。この計算は、小さいAの各部分と大きいB全体を同じ重さで数えています。区切り方だけを変えて雨の量が変わったことにしてしまったのです。面積を掛けた合計を使えば、三つのAは10×40が三回で、元の30×40へ戻ります。
区分を細かくする目的は、雨の分布を詳しく表すことです。同じ区域内にも差があると分かったなら、新しい観測値で見積もりを改めます。しかし、同じ一様な値を行だけ増やして書いた場合には結果を変えません。計算方法が、資料の区切り方に不必要に左右されていないかを確かめましょう。
例題1 二つの区域の平均雨量
流域をAの30平方km、Bの70平方kmに分けます。それぞれの区域内では雨量が一様で、Aは40mm、Bは10mmでした。流域全体の平均雨量を求めてください。
答え・解説： 19mmです。（30×40＋70×10）÷100＝19。面積の割合で書けば40×0.3＋10×0.7です。二つの値を単純平均した25mmは、AとBを半分ずつの面積として扱った値になります。雨の少ないBの方が広いため、平均は10mmの方へ寄ります。
雨量計を増やすだけで平均が変わってよいか
同じ広さのAに雨量計を三つ、Bに一つ置いて、四個の値を単純平均すると、測定器の多いAが過大に重くなります。雨量計の数は地面の面積ではありません。各観測値がどの区域を代表するかを決める方法が必要です。
実際には近い観測点で区域を分ける方法などがありますが、雨がその境界で急に変わるわけではありません。観測できない場所を推定するための区切りです。問題が区域を指定した場合には、その模型に従って計算します。
例題2 降った水の体積へ直す
例題1の流域全体へ降った水の体積を立方mで求めてください。また、そのうち60％が指定した期間に流域出口へ流れ出る模型なら、出口で数える体積はいくらですか。
答え・解説： 降った総体積は190万立方m、出口へ流れ出る分は114万立方mです。100平方km＝1億平方m、19mm＝0.019mなので、積は190万です。そこへ0.6を掛けます。区域別に30×40×1000と70×10×1000を足しても190万になります。降った雨を全て川へ出た水と同一視しないことも大切です。
全体の平均だけでは局地的な強さはわからない
平均が19mmだから、流域のどこでも19mm降ったわけではありません。例題のAは40mmです。平均は全体の水量を考えるのに便利ですが、局地的な強い雨を表す値ではありません。地図の濃淡や観測点ごとの表を、平均値で消してしまわないようにします。
また、同じ19mmでも、一時間で降ったのか、一日かけて降ったのかで時間当たりの強さは違います。複数の観測点を平均する前に、集計した期間が同じか確認します。欠測がある地点を無条件に0mmとして入れると、平均が低くなってしまいます。測れなかったことと、雨がなかったことは区別します。
面積に応じた平均は、値×面積を足して全体面積で割るという仕組みです。数字だけの公式として覚えるより、一度水の体積に直して考えると、なぜ面積を掛けるかがわかります。単位換算の桁が大きくなる場合も、平方kmから平方m、mmからmを別々に直せば確かめやすくなります。
地図の各区域が重複せず、全流域を覆っているかも確認します。同じ場所を二つの区域に数えたら、水量も二重に足されます。平均を求める前の地図の読み取りが、計算の正しさを支えています。
境界を分け直した場合の確認
雨量が一様なBを、面積20平方kmと50平方kmの二区域に分けても、合計体積は変わりません。どちらも10mmなら、重みを掛けた項を分けて足すだけで同じ値になります。区域を細かく描き直しただけで平均が変わってしまったら、単純平均をしていないかを疑えます。
この確認は、表の行数が増えた問題にも使えます。一つの観測値を二行に分けても、それぞれが代表する面積の合計が元と同じなら、全体への寄与は同じです。平均は行の数ではなく、その背後にある面積を使って作る。この見方を持つと、地図と表の間を行き来しやすくなります。
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