「液を5mL取り、水で50mLにする」と「液5mLに水50mLを加える」は、同じ操作ではありません。前者は仕上がりが50mLです。後者は、体積を足せる条件なら仕上がり55mLになります。中学入試の濃度計算で、たった一文字の違いが希釈倍率を変えます。
この記事では、液1mLに何mgの物質が含まれるかを表すmg/mLの濃度を使います。これは質量百分率の％とは違います。体積が分母なので、問題に書かれた「仕上がりの体積」を確かめることが計算の出発点です。
取り分けただけでは、濃さは変わらない
均一によく混ぜた液から一部を取ると、液の量と中の物質の量が同じ割合で減ります。たとえば20mg/mLの液を5mL取れば、物質は20×5＝100mgです。元の容器が大きくても、採取した部分の濃さは20mg/mLのままです。
これに物質を含まない水を加え、全体を50mLにすると、100mgが50mLに分かれます。濃度は100÷50＝2mg/mLです。物質そのものを10分の1に壊したのではなく、同じ量を10倍の液の中に広げています。
こうした操作を段階的に行うときは、容器にA、B、Cと名前を付け、移した量を矢印へ書きます。一本の矢印に「原液の5mL」と「薄めた液の5mL」が混在しないよう、採取元を明示するのが大切です。
例題1：二段階で薄めた液の濃度
20mg/mLの原液Aを5mL取り、水を加えて全体を50mLにし、液Bを作りました。Bをよく混ぜ、そのうち10mLを別の容器に取り、水で全体を40mLにして液Cを作りました。物質は水に溶けたままで、反応や損失はありません。Cの濃度を求めてください。
答え・解説： AからBへは50÷5＝10倍の希釈なので、Bは20÷10＝2mg/mLです。BからCへは40÷10＝4倍の希釈です。Cは2÷4＝0.5mg/mLになります。二段階の希釈倍率は10＋4ではなく、10×4＝40倍です。
物質量でも検算できます。Bの10mLには2×10＝20mgがあり、Cの40mLにも20mgが残ります。20÷40＝0.5mg/mLです。最初にAから取った100mgをそのまま40mLで割ると、Bのうち10mLだけを移した操作を飛ばしてしまいます。
仕上がり量と追加量を二列に分ける
例題1の最初の操作では、水を加えた後が50mLです。実際の調製なら目盛りまで合わせる操作であり、液体の体積が常に厳密に加算できることを前提にしなくて済みます。学習問題で体積が足せると指定された場合だけ、水の量を50−5＝45mLと求められます。
二段目も、仕上がり40mLと追加の水40mLは違います。もしBの10mLに水40mLを加え、体積が加算できる条件なら、全体50mLの5倍希釈です。問題文を読みながら「取った液」「加えた水」「完成した液」の三つを別々に記入すると、この取り違えを防げます。
例題2：濃度から原液を逆算する
ある原液を2mL取り、全体を20mLにしました。その液の4mLを取り、全体を10mLにしたところ、最終濃度は0.8mg/mLでした。原液の濃度はいくらですか。
答え・解説： 最初は20÷2＝10倍、次は10÷4＝2.5倍の希釈です。全部では25倍薄くなっているので、原液は0.8×25＝20mg/mLです。逆算では倍率を掛け、順方向では倍率で割ります。
最後の容器には0.8×10＝8mgあります。この8mgは、その前の液4mLに含まれていた量なので、その濃度は8÷4＝2mg/mLです。さらに10倍濃い原液は20mg/mLとなります。倍率だけで不安なら、最後から物質の重さを戻す方法も使えます。
「同じ容器で交換する問題」と混ぜない
食塩水を一部捨てて同量の水を戻す問題では、捨てずに残した部分が次の計算の出発点になります。ここで扱った段階希釈では、別の容器へ移した部分が出発点です。同じ「一部を取る」でも、次に使うのがどちら側なのかが違います。
また、液を混ぜる前に上澄みだけを取るなど、濃度が一様でない状態では、この計算の前提が成り立たないことがあります。「よく混ぜてから採る」は形式的な注意ではなく、採取部分に全体と同じ濃度を使うための条件です。
答案には、倍率だけでなく一段ごとのmg/mLも残しましょう。途中の数字を一つ書いておけば、40倍薄めたつもりが14倍になっていないか、最終濃度が原液より濃くなっていないかを自分で点検できます。薄める操作を、容器をまたぐ物質の移動として読めることが目標です。
関連する記事でつなぐ
中学受験理科｜食塩水を取り出して水を足す｜繰り返す操作と残る食塩の計算