水を混ぜた温度は、いつも平均？｜重さが違うときの考え方

編集補足：混ぜる前に、温度の行き先を見積もる

以下は、重さの違う水を混ぜる計算を確かめるために加えた説明と自作例題です。水はこぼれず、蒸発せず、容器や空気との間で出入りする熱もないものとします。混ぜ終わった水の温度が場所によらず等しくなった状態を考えます。実物の熱いお湯を子どもだけで扱って確かめる問題ではありません。

最初にすることは、式を書くことではなく、答えが入る範囲を決めることです。たとえば18℃と66℃の水を混ぜたなら、この条件で18℃より低くなったり66℃より高くなったりはしません。温かい側から冷たい側へ熱が移り、両方が同じ温度になるところを探しているからです。ここを先に押さえると、計算結果の桁を間違えたときにも気付けます。

次に重さを見ます。冷たい水が多ければ、最後の温度は二つの温度の真ん中より冷たい側に寄ります。ただし、「多い側に寄る」は答えを見積もるための言葉です。どれくらい寄るかを求めるには、水の重さと温度が変わった幅を組にしなければなりません。温度だけの平均で済ませてよいのは、同じ重さの水どうしを、この理想条件で混ぜたときです。

例題1：冷たい水が3倍あるときの温度

18℃の水150gと66℃の水50gを混ぜます。混ぜ終わった水は何℃ですか。上に示した条件で考えてください。

答えは30℃です。 二つの温度の差は48℃。冷たい水の重さは温かい水の3倍なので、冷たい側の上昇幅は温かい側の下降幅の3分の1になります。上昇幅と下降幅を合わせると48℃になるので、これを1対3に分けます。1に当たるのが12℃、3に当たるのが36℃です。

冷たい水は18＋12＝30℃になり、温かい水は66−36＝30℃になります。二つの計算が同じ終点になることまで確かめましょう。150×12＝1800と50×36＝1800が一致するのも確認できます。この1800は、同じ水の熱の移動を比較するために質量と温度差を掛けた数で、そのままジュールを表しているわけではありません。

間違いやすいのは、重さの比3対1を、そのまま温度変化の比3対1に使うことです。水の多い方は、少し温度が変わるだけでも多くの熱を受け取ります。だから温度変化は逆の1対3になります。「重い方が大きく変わる」と処理していないか、式の前後で確認してください。

例題2：決めた温度にするには、何g加える？

20℃の水120gを、80℃の水と混ぜて44℃にしたいと考えました。80℃の水は何g必要ですか。熱の出入りなどについては例題1と同じ条件です。

答えは80gです。 冷たい水は44−20＝24℃上がるので、120×24＝2880を受け取る側の比較量とします。温かい水は80−44＝36℃下がります。必要な重さは2880÷36＝80gです。ここで80℃という温度と80gという重さが偶然同じ数字になっていますが、別の量です。答えの単位を付けないと、何を求めたのかが分からなくなります。

検算には、水の重さ120対80＝3対2と、温度変化24対36＝2対3を使えます。積がそろうこと、混合後の44℃が初めの二つの温度の間にあること、冷たい水の方が多いので真ん中の50℃より低いこと。この三つがそろえば、答えの意味まで確認できます。

水をもう一度加える問題では、前の混合水を一まとまりにする

例題1でできた水は、30℃で200gです。ここへ別の水を加える場合、最初の150gと50gをいつまでも別々の水として扱う必要はありません。よく混ざって温度がそろった後なら、「30℃の水200g」と書き直して次の段階へ進めます。途中で一部を取り出した条件があれば、残った重さを使います。

この書き直しを飛ばすと、混ぜた温度は使っているのに、重さだけ最初の150gのままという間違いが起こります。計算欄を段階ごとに区切り、「今ある水の重さ」と「今の温度」を二つセットで更新する。水の追加や取り出しを含む問題では、この整理が役に立ちます。

実測値が計算と違ったら、平均の公式を疑う前に条件を戻す

室温の容器に熱い水を入れると、容器も温まります。混ぜるまでの間に水が冷めることもあります。理想条件で求めた温度と実験の値が違っていても、直ちに計算方法が誤りとは言えません。一方で、違いをすべて「熱が逃げたから」と決めつけるのも早計です。水の重さ、混ぜる直前の温度、温度計の位置、読み取る時刻を順に見直します。

このページの計算で分かるのは、与えられた条件が成り立つ場合の混合温度です。実験結果を説明するときは、記録から確かめられる事実と、熱の移動について考えた可能性を分けて書きましょう。