池に10mmの雨が降ったら、水面も必ず10mm高くなるでしょうか。池の水面へ直接降る雨だけが出入りなら、そのように考えられます。しかし実際には、周囲から水が流れ込み、川や排水口から出ていき、水面から蒸発することもあります。水位の変化を求めるには、入る水と出る水を合計して差を取ります。
中学入試では、雨の深さがmm、流入量がm³、池の面積がm²など、単位が別々に書かれることがあります。数字だけを足し引きせず、いったん全部を水の体積へそろえましょう。最後に池の面積で割れば、高さの変化へ戻せます。
池の中に残る量を、一日の出入りから考える
池を一つの箱として囲みます。水面への雨と外からの流入はプラス、水面からの蒸発と外への流出はマイナスです。「入る量−出る量」が、その期間に池にたまった水の増加量になります。流入量が大きくても流出量がさらに大きければ、水位は下がります。
以下では側面が垂直で、水位が変わっても水面の面積が一定の池を模型として使います。地下への浸透や地下水からの流入は、特に指定しなければないものとします。自然の池がいつもこの形という意味ではなく、面積と高さを結び付けるための条件です。
水位が同じでも、水が動かなかったとは限らない
朝と夕方の池の水位が同じなら、その間の水の出入りはなかったのでしょうか。面積が一定の模型で言えるのは、入った量と出た量の差が0だったということです。流入も流出も大きく、ちょうどつり合った可能性があります。水位という残った量の記録から、通過した総量を一つに決めないことが大切です。
水面積100m²の池で、ある時間に雨が10mm降り、外から4m³流れ込んだとします。雨は1m³なので、入った総量は5m³です。同じ時間の蒸発が2mmなら0.2m³に相当します。水位が変わらず、ほかの出入りは排水だけという条件なら、排水量は5−0.2＝4.8m³です。水位差0をそのまま排水量0としてしまうと、この収支が合いません。
途中で水位が上がってから元へ戻った場合も、朝夕だけを見れば変化0です。したがって二回の測定から『一度も水位は高くならなかった』とも言えません。途中の最大水位を問うなら、時刻ごとの記録が必要です。最初と最後の差、途中の増減、出入りの合計は、それぞれ別の情報です。同じ池の図でも、どれを答える問題かを見出しや単位で区別してください。
例題1｜雨が降った日に、水位はどれだけ上がる？
水面の面積が2000m²の池で、一日に10mmの雨が降り、水面から4mm分が蒸発しました。同じ一日に、外から30m³流れ込み、排水口から20m³流れ出ました。池の水位は何mm変化しますか。雨は池の水面に直接降る分だけを数え、流入30m³には周囲から来る水がすべて含まれているとします。
答え・解説： 10mmは0.010mなので、雨は2000×0.010＝20m³です。蒸発した水は2000×0.004＝8m³。池に残る増加量は20＋30−8−20＝22m³です。これを面積2000m²で割ると0.011m、つまり11mm上がります。
10−4＝6mmだけでは、流入と流出の差を落としています。流入と流出の差10m³は、水位で5mm分に当たるので、6＋5＝11mmでも確かめられます。深さへ直してから足す方法と、体積で全部まとめる方法のどちらでも、単位をそろえることが条件です。
周囲の地面に降った雨を別に足したくなりますが、今回の流入30m³にすでに含まれています。流入として測定した水と、その水のもとになった雨を両方足すと二重計上になります。水が池の境界を通ったところで一回だけ数えます。
例題2｜水位の低下から、未測定の流出を求める
同じ池で、雨のない日に水位が6mm下がりました。その日の流入は12m³、水面からの蒸発は3mm分です。ほかの出入りは排水口からの流出だけとすると、流出量は何m³でしたか。
答え・解説： 水位6mmの低下は、2000×0.006＝12m³の貯水量減少です。蒸発量は2000×0.003＝6m³です。最初の量に流入12m³が加わったのに、最後は12m³減っているので、外へ出た総量は24m³。そのうち6m³は蒸発だから、排水口からの流出は18m³です。
式を使うなら、12−6−流出量＝−12となります。負の数を使わず、「最後に12m³減らすには、入った12m³よりさらに12m³多く出す必要がある」と考えても答えられます。観測した低下量12m³を、そのまま排水量としないことが大切です。
面積が変わる池では、断面図が必要になる
岸が斜めになっている自然の池では、水位が上がると水面が広がることがあります。その場合、ある時点の面積だけを使った「面積×高さ」が正確な体積変化にならないことがあります。入試問題で水位と貯水量の対応表が与えられたら、その表から前後の貯水量の差を読みます。
面積が一定という条件を見つけたときだけ、今回の掛け算でよいと判断します。底面積と水面積が違う容器でも同じ注意が必要です。図が台形なのに、長方形の池の計算を持ち込んでいないかを確認しましょう。
蒸発量のmmは、残った水の深さではない
蒸発3mmという値は、水面の面積全体から厚さ3mmに相当する水が出ていったという意味です。池に3mmしか水がないとか、水位が必ず3mm下がるという意味ではありません。流入と流出もあるからです。降水量と同様、体積を面積で割った深さとして扱います。
記録表には、対象とした開始・終了時刻も必要です。一日の雨量と、午前中だけの流出量を混ぜても、その日の収支は求まりません。面積、単位、期間、数える境界をそろえる。この四つを整理してから計算すると、気象の表と水の体積の問題を一つの筋道で読めます。
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