湖の体積を、一日に流れ出る水の量で割ると、日数が求まります。たとえば1000立方mの湖から毎日100立方mが出れば10日です。では、十日後に元の水が一滴残らず新しい水へ入れ替わるのでしょうか。この問いには、割り算だけでは答えられません。
中学入試の資料では、水の量と流量を組み合わせた模型が扱われます。この記事では、体積÷流出量という指標の意味と、湖の中で水が混ざる場合の違いを整理します。水を貯める大きさだけでなく、どれだけの速さで出入りするかを見る練習です。
流出量の単位に、時間が入っている
湖の体積が立方m、流出量が立方m/日なら、割った結果は日になります。流出量が立方m/秒なら結果は秒です。時間の単位を見ずに同じ数字として扱うと、86400倍もの違いが生じます。単位は計算の最後に飾りとして付けるものではありません。
体積を一定に保つ模型では、流れ出る量と同じ量が流れ込みます。雨、蒸発、地下水の出入りなどを考えないなら、そのことを条件に入れます。実際の湖で流入と流出が大きく違えば、水位や体積が変わるため、最初の体積をずっと使う説明には注意が必要です。
一斉に入れ替わる列と、混ざる水槽は違う
細長い管を水が順番に進み、先に入った水から出ていく模型なら、ある時間を過ぎると元の水が押し出されます。一方、よく混ざる水槽では、流れ出る水に新しい水も古い水も含まれます。古い水だけが都合よく最初に出るとは限りません。
体積÷流量という値は、流れを一定としたときの平均的な滞留時間を考える尺度です。水の一滴ごとがその時間だけ滞在するという意味ではありません。すぐ流れ出る水も、長く残る水もあり得ます。この指標から個々の水の動きを断定しないようにします。
同じ大きさの湖でも、流れが違えば値は変わる
体積が二倍でも、流出量が四倍なら、この日数は半分です。大きい湖ほど必ず水が長く残る、という説明にはなりません。逆に体積を半分にしても、流出量が十分の一へ減れば、日数は五倍になります。
比較表では体積、日ごとの流出量、その商を三列に分けます。流れ出る量が少ない時期と多い時期を比べる際は、どの期間の平均かもそろえます。大雨直後の一日の流量だけを、平常時の一年へ延長して使わないことが大切です。
例題1｜湖の体積と流出量
Aの湖は体積12000立方m、一日当たりの流出量600立方mです。Bは体積18000立方m、流出量1800立方m/日です。体積÷流出量で求める日数を比較してください。
答え・解説： Aは12000÷600＝20日、Bは18000÷1800＝10日です。Bは体積が大きい一方、流出量はAの三倍なので、日数はAの半分です。体積の順位だけでは、滞留の尺度の順位は決まりません。
例題2｜二回の入れ替えでも元の水が残る
100Lの水槽をよく混ぜ、50Lを取り出して新しい水50Lを加えます。もう一度十分に混ぜ、同じ操作を繰り返します。初めからあった水は最後に何L分残りますか。蒸発などはなく、二回とも均一に混ざるとします。
答え・解説： 一回目の後、古い水は50L分です。二回目はその半分が取り出されるので、25L分が残ります。合計100Lを取り出しても、最初の100L全部が出たことにはなりません。二回目に出た50Lの中には、新しく加えた水も含まれています。
この水槽の計算を、湖の実測と混同しない
例題2は、半分を取り出して補充する段階的な模型です。流入と流出が連続する湖を、そのまま二回の操作で再現したものではありません。ただし、混ざった状態から出ていくと古い水が残る、という点を確かめることができます。
実際の湖には、深さによる温度差や流れにくい場所があり、全体が常によく混ざるとは限りません。汚れの減り方も、分解、沈殿、底からの供給などに影響されます。水の平均滞留時間が分かっただけで、汚れが消える日を決定することはできません。
答えには「一定の流量と体積を用いた尺度では20日」と書きます。「20日後に完全に新しい水になる」と言い換えない。この一文の違いが、計算の意味を理解しているかどうかを示します。割って日数が出た後こそ、その日数が何を表しているかを確認してください。
水位の変化があれば、収支から先に読む
ある日に流入が150立方m、流出が100立方mで、ほかの出入りがないなら、貯まる水は50立方m増えます。この状況で湖の体積をずっと一定とすることはできません。流出量で割る前に、体積の変化を追う必要があります。逆に流量がともに200へ増えて体積が保たれるなら、体積を変えずに滞留の尺度だけが短くなります。水位が同じことは、水が動いていないことの証拠にはなりません。出入りが釣り合っている可能性があるからです。静止して見える水面と、水の交換の速さを別の観察として捉えると、湖の表の読み方が広がります。