水の入ったコップに氷が浮いています。氷の一部は、水面より上に出ています。
「上に出ているところも水になるのだから、とけたら水面が上がる」
そう考えたくなりますね。けれど、この問題では、とけた後だけを見ると、比べる相手を間違えます。
先に確かめたいのは、「浮いている氷は、いま何cm³の水を押しのけているのか」です。
ここでは、真水からできた氷が真水に浮き、底や壁から支えられていない場合を考えます。蒸発・水の出入り・温度による水や容器の体積変化は考えず、水1cm³の重さを1gとする基本問題です。
浮いて止まっているなら、力がつり合う
氷が水面に浮いて静止しているとき、下向きに重力、上向きに浮力がはたらきます。この二つがつり合っているので、氷はその位置にとどまります。
浮力の大きさは、押しのけた水にはたらく重力の大きさと同じです。
つまり、浮いている氷は、自分と同じ重さの水を押しのけています。ここが、とける前と後をつなぐところです。
100gの氷で考えてみる
100gの氷が浮いているとします。
この氷が押しのけている水の重さも100gです。水1cm³の重さを1gとするので、押しのけた水の体積は100cm³になります。
ここで、「氷全体の体積が100cm³」としてはいけません。
100cm³なのは、水中に入っている部分の体積です。水面より上に出ている部分もあるので、氷全体の体積はそれより大きくなります。
では、この氷が全部とけたらどうなるでしょうか。
氷100gからできる水は100g。その体積は、同じ条件で100cm³です。
| 比べるもの | 体積 |
|---|---|
| とける前に、水中で氷が占めていた部分 | 100cm³ |
| とけた後に、新しくできる水 | 100cm³ |
二つが同じなので、水面の高さは変わりません。
上に出ていた氷は、どこへ行った？
「でも、水面より上の部分も水になるよね」
その通りです。上の部分が消えてなくなるわけではありません。
ただし、氷はとけると、同じ重さで比べた体積が小さくなります。上に出ていた部分も含めた氷全体が、とけた後には、もともと水中に入っていた部分と同じ体積の水になります。
「上の部分が水になる」だけでなく、「氷全体が水になると体積がどう変わるか」まで追う必要があります。
比べるのは、氷全体の体積と水面ではありません。とける前に押しのけていた水の体積と、とけてできた水の体積です。
外から氷を足す問題とは分ける
最初は水だけが入ったコップに、外から氷を入れたらどうでしょうか。
氷を入れて浮かべた時点では、氷が水を押しのけるので、水面は上がります。その後、浮いている氷が全部とけても、上がった後の水面の高さは変わりません。
「水面は変わらない」という答えだけを覚えると、いつといつを比べるかが抜けます。
A：まだ氷を入れていないとき。 B：氷を入れ、浮いて静止したとき。 C：その氷が全部とけたとき。
この条件では、AよりBの水面が高く、BとCは同じ高さです。途中で水があふれない容器で考えましょう。
最後に、比べる二つを言ってみよう
問い：水に浮いている氷がとけても、水面が変わらない理由を説明してください。
答えの例：浮いている氷が押しのけていた水と、その氷がとけてできる水は、同じ重さ・同じ体積になるからです。
もし「氷がとけると体積が減るから」とだけ答えたら、「それなら、水面は下がらないの？」と続けてみてください。
減るのは氷全体としての体積です。水面を考えるときには、もともと水中にあった部分へ戻ります。
物の変化を追う問題では、何が同じで、何が変わったかを一つずつ分ける。今回なら、重さを手がかりにして、水中の体積を比べると説明できます。
あわせて読む・参考資料
数値例は本記事用に作成しています。
編集補足：水位の比較は、三つの場面に分ける
以下は、氷の重さを水中の体積へつなぐための編集補足と自作例題です。真水の氷が真水に自由に浮く基本条件を使います。蒸発や水の流出入はなく、温度による水・容器の体積変化を無視し、水の密度を1g/cm³とします。容器は十分大きく、水はあふれません。
この問題では「水の量が増えたか」と「水面が上がったか」を同じ問いにしないことが大切です。氷がとければ液体の水の量は増えます。しかし、とける前には氷の水中部分が場所を占めています。その場所が空くことも同時に考えなければ、水面を判断できません。
氷を入れる前、浮かべた後、とけた後。三つの図を並べて、それぞれで水中を占めているものを書きます。最初はもとの水だけ、次はもとの水と氷の水中部分、最後はもとの水と氷からできた水です。真ん中と最後で追加される体積が等しいことが、水面が同じになる理由です。
例題1：氷を入れてからとけるまでの高さ
底面積が60cm²で、側面が垂直な容器に水があります。外から重さ120gの氷を入れると、氷は底に触れずに浮きました。氷を入れる前を基準に、水面は何cm上がりますか。また、その氷が全部とけた後は、入れる前より何cm高いですか。
どちらも2cm高くなります。 浮いている氷は120gの水を押しのけるため、その体積は120cm³です。側面が垂直なので、増えた水中の体積を底面積で割り、120÷60＝2cmとなります。とけた後の水も120gで120cm³ですから、入れる前より2cm高い状態が続きます。
「とけた後は変わらない」とだけ答えると、比較の基準が足りません。入れた直後と比べれば変わりませんが、入れる前と比べれば2cm高いままです。解答には、いつを基準とした高さなのかまで添えるようにします。
容器が途中から広がる形なら、体積120cm³を一つの底面積で割るだけでは高さを出せません。それでも、浮かべた後ととけた後の水中を占める体積が等しい、という比較は使えます。水位の変化があるかを判断する部分と、何cm変わるかを計算する部分では、必要な条件が違います。
例題2：水面より上に出た部分の体積
ある氷の全体の体積が100cm³、重さが90gでした。この氷が水面に浮いて止まっています。水中にある部分、水面より上にある部分、全部とけてできる水の体積を順に求めてください。
水中は90cm³、水面より上は10cm³、とけてできる水は90cm³です。 氷全体の重さ90gを支えるには90gの水を押しのけるので、水中の体積は90cm³です。上の部分は100−90＝10cm³。とけても重さは90gのため、できる水は90cm³になります。
上に出ている10cm³だけが、そのまま10cm³の水になって追加されると考えてはいけません。水中も水面より上も、氷全体が水へ変わります。全体100cm³の氷が90cm³の水になるので、もともと水中にあった90cm³をちょうど置き換えます。
この数値は例題の条件として与えたものです。氷の密度をいつでも厳密に0.9g/cm³とする意味ではありません。実際の密度の細かな値を暗記するより、問題で与えられた重さと体積を使い、どちらが保存されるかを追うことが中心です。
支えられた氷へ、同じ答えを広げない
氷が底に乗っている場合、重さの一部を底が支えていることがあります。そのときは、押しのけている水が氷と同じ重さとは限りません。逆に、棒などで氷を押して全部水中に沈めた状態なら、水面に自由に浮いていた場合より多くの水を押しのけます。どちらも「氷がある」というだけで同じ結論にはできません。
問題文に浮いていると書かれていても、図の底や糸の有無を見ておきましょう。自由に浮いて静止しているなら、重力と浮力の二つだけで説明できます。別の支えがあれば、その条件から調べ直します。このページの答えは、氷ならどんな置き方でも水位が変わらない、という規則ではありません。
説明文は、同じ重さから同じ体積へつなぐ
記述で「同じだから」と書くときは、何が同じかを具体的にします。まず、浮く氷と押しのけた水の重さが等しいこと。次に、とけても氷だったものの重さは変わらないこと。最後に、同じ条件の水どうしで重さが同じなら体積も同じこと。この順に並べれば、水面が変わらないという結論につながります。
途中で「氷と水の体積が同じ」と書き換えると誤りになります。同じなのは、押しのけていた水と、とけてできた水の体積です。答えを読んだ人が図のどの部分を指しているか分かるように、主語を省きすぎないことがポイントです。