水が落ちる様子を見ながら時間を測る水時計。透明な容器に一センチメートルごとの線を引けば、一分ごとの目盛りになるでしょうか。ここには二つの条件があります。同じ高さの差が同じ水の量を表すか、そして同じ量の水が同じ時間で出るかです。容器の形と流れの変化を分けると、水時計の目盛りを自分で説明できます。
水位が下がると、穴を押す条件も変わる
底近くに小さな穴のある容器では、穴の上の水面までの高さが流れに関係します。水位が下がれば、その穴の位置での水による圧力も変わります。同じ穴だから毎秒同じ量が出る、と決めることはできません。実際の流量は穴の形や抵抗にも左右されるため、以下では測定表で与えられた流量を使います。
一方、受け皿へ水が一定の速さで流れ込む仕組みでも、受け皿の横断面積が高さによって違えば、水位の上がる速さは変わります。広い部分を一センチメートル上げるには、狭い部分より多くの水が要ります。「一定流量」と「一定の水位変化」は同じではありません。どちらの容器の水面を読んでいるのか、図の中へ印を付けましょう。
例題1｜同じ量が減るまでの時間
流れ出る水時計の模型で、上の区間は水60mLが一秒に2mLずつ出ます。次の区間は別の60mLが一秒に1.5mLずつ出ます。それぞれの区間に何秒かかり、初めから二つ目の区間を通り終えるまで何秒ですか。各区間内では流量が一定とします。
答え・解説：上は60÷2＝30秒、次は60÷1.5＝40秒です。合計は70秒。水の量が同じでも、流量の違いで時間は変わります。二つの流量を単純平均して全量を割ると、各流量が続く時間が違うことを無視します。まず区間別に時間を求めて足します。
例題2｜受け皿の形と目盛り
一定流量で一分に30cm³の水が入る受け皿を考えます。下の区間の水平断面積は10cm²、上の区間は15cm²です。各区間で一分に水位が何cm上がりますか。境目をまたがない一分について考えます。
答え・解説：下は30÷10＝3cm、上は30÷15＝2cmです。同じ一分を表す縦の間隔は、上の方が狭くなります。受け皿が上に広がっているのに等間隔の目盛りを付けると、同じ時間を表しません。体積を面積で割ると高さになるという単位の関係も確かめます。
実際に時刻を合わせて線を引く
流量を式で完全に表せない場合でも、別の時計を使って一分ごとの水位を記録すれば、条件を限定した目盛りを作れます。これは校正の一例です。ただし、その後で穴を広げたり容器を傾けたりすれば、作った目盛りは同じように使えません。初めの水位を毎回そろえることも必要です。水位の履歴そのものが流れ方へ影響するからです。
水の温度が変わると、流れにくさや容器の状態が変わる可能性があります。冷たい水で作った目盛りを温かい水へ無条件に使うのではなく、同じ目盛りの時間を再測定します。測定中に穴へ小さなごみが詰まった場合も、途中から流量が変わり得ます。最後の時刻だけを合わせるより、途中の区間を記録すると異常を見つけやすくなります。
水滴の数で時間を測る方式なら、一滴の体積が一定かも問題です。百滴を数えたという記録だけでは、何mL出たかは決まりません。一定量をまとめて集めてから一滴当たりを求める方法はありますが、滴の大きさが変わる区間へその平均値を広げないようにします。水量と滴数のどちらを直接測ったのかを見ます。
流れる水と残る水の収支
上の容器で百mL減っても、受け皿で百mL増えるとは限りません。途中の管に残る水、外へこぼれた水などがあれば差が生じます。例題で「すべて受け皿に入る」とあるなら、その条件で二つの量を結べます。容器の重さまで含めて量る場合は、空の容器の重さを引いて水だけに戻します。時間の問題でも、水の行き先を先に整理する姿勢が計算の誤りを防ぎます。
残りの水を読む時計と、たまった水を読む時計
水時計の図では、上の容器と下の容器に同時に水面が描かれています。ここで「水位は下がる」とだけ答えると、下の容器について聞かれた問題には合いません。上では残量が減り、下では流入した量が増えます。まず時刻を読む容器を色で囲み、時間が進む向きを矢印で書きます。目盛りの数字を大きくする方向も、二つの容器では反対になる場合があります。
例えば上の容器の水面が毎分同じだけ下がって見えても、それだけでは流量が一定と断定できません。下へ行くほど容器が細くなるなら、同じ高さを下がる間に失う水量は少なくなります。流れ出す量が減ることと容器の幅が狭くなることが組み合わさり、見かけの水位変化がそろう可能性があります。高さの記録を体積の記録へ直すには、容器の断面積の資料が要ります。
途中で容器へ水を継ぎ足す操作も、単なる残量の足し算では済まない場合があります。流出口の上の水面が高くなれば、その後の流出条件まで変わるためです。初めに作った目盛りは、一度満たしてから途中で補給しない使い方を前提にしているかもしれません。同じ線の位置へ戻したとしても、時計の針を戻しただけと考えず、水の流れを決める条件を戻したことまで見ます。
水位と時刻の表を読む練習では、隣り合う二つの記録の差を取り出してください。累積の水量が増えていても、一分ごとの増加量は小さくなることがあります。表の最後が最大だから流れが最も速かった、とは言えません。たまった総量と、その区間だけの増え方を分けることが、水時計を通じて身に付けたい読み方です。