左右が開いたU字管でも、水と油の上面が同じ高さになるとは限りません。同じ液体だけなら液面はそろいますが、密度の違う液体を積み重ねると、同じ高さでつり合う圧力を比べる必要があります。見た目の上端をそろえるのではなく、二つの道が同じ水でつながる高さへ線を引きます。
中学入試の液体の問題では、「つながった容器なら水面は同じ」という覚え方が、条件の違う場面で邪魔をすることがあります。左右が同じ空気に接していること、液体が静止していること、同じ高さの比較点が同じ連続した液体内にあることを、一つずつ確かめましょう。
境目の高さに横線を引く
U字管の左側に水、その上に混ざらない油を入れ、右側は水だけとします。油と水の境目を通る横線を右へ延ばします。右の同じ高さの点は、底を通じて左とつながった水の中です。静止しているなら、この二点の圧力は等しくなります。
左では、空気の圧力に油の柱が押す分が加わります。右では、同じ空気の圧力に水の柱が押す分が加わります。共通する空気の分を引けば、油の柱と水の柱だけを比べられます。ここで必要な高さは、どちらも横線から上面までです。管の底からの高さや、液面どうしの差をいきなり使いません。
軽い液体ほど、長い柱で同じ圧力を作る
同じ断面積、同じ高さの柱なら、密度が小さい液体ほど軽く、下へ押す力も小さくなります。その分、柱を高くすると同じ圧力を作れます。問題では「密度×高さが同じなら、柱による圧力も同じ」として読むと、難しい圧力の単位を使わずに整理できます。
油の密度が水の0.8倍なら、油の柱10cmは、水の柱8cmに相当します。境目を基準に油の上面は10cm、水の上面は8cmなので、油側の上面が2cm高くなります。「油が軽いなら上面が低い」と逆にしないよう、同じ押す強さを得るには長い柱が必要、と言葉で添えてください。
例題1｜油側が何cm高くなる？
左右の上端が同じ大気に開いたU字管に水を入れ、左へ密度0.75g/cm³の油を加えました。油と水は混ざらず、静止後の油の柱は12cmです。水の密度を1.00g/cm³とします。境目から右の水面までの高さと、左右の上面の差を求めてください。
答え・解説： 油の柱による押す強さは0.75×12＝9に対応します。同じ押す強さの水柱は9÷1.00＝9cm。したがって油の上面が12−9＝3cm高くなります。9cmは管の底からではなく、油と水の境目から測った長さです。
例題2｜上面の差から油の密度を読む
同じ条件のU字管で、油の柱が20cm、油の上面は右の水面より4cm高くなりました。水の密度は1.00g/cm³です。油の密度を求めてください。表面張力の影響は考えません。
答え・解説： 同じ境目の高さから右の水面までは20−4＝16cmです。油20cmと水16cmが同じ圧力を作るので、油の密度は1.00×16÷20＝0.80g/cm³。上面差4cmをそのまま水柱の高さに使って0.20としないことが要点です。比較の線を描けば、必要な16cmが見えます。
管の太さが違うと、何が変わる？
圧力を比べる式に管の断面積が直接出てこないのは、圧力が単位面積当たりの押す力だからです。しかし油を何mL注いだら何cmの柱になるかを考える段階では、断面積が必要です。体積を高さへ直す問題と、できた高さから圧力を比べる問題を区別しましょう。
また、左へ油を注ぐと水は右へ移動するため、最初の水面をそのまま境目の高さとして固定してはいけません。初めからどれだけ上下したかまで問われるなら、水の移動体積を左右で等しくする条件も使います。上面差だけを問う例題では不要だった情報が、移動量の問いでは必要になります。
この考え方が使えるのは、混ざらない液体が落ち着いた状態です。激しく流れている途中や、左右を別の気体で押す装置では条件を追加します。「同じ高さならいつでも同じ圧力」ではなく、同じ液体が静止してつながる範囲で使う。横線にこの条件を添えると、覚えた知識を適切な場所で使えます。
境目より下で比べても答えは同じ
油と水の境目からさらに5cm下へ比較の線を移すと、左も右も同じ水の柱5cm分だけ圧力が増えます。共通の増加はつり合いを変えないので、境目で比べた答えと一致します。境目の線が便利なのは、左右に共通する余分な水の部分を計算しなくて済むからです。
反対に、左が油の内部、右が水の内部になる高さに横線を引き、そこを無条件に等圧とすることはできません。横線を引けることと、同じ連続した液体の中にあることは別の条件です。線の両端の物質名を小さく書くと、使える比較かを確認できます。
密度をg/cm³ではなく水を1とする比で与える資料でも、比べ方は変わりません。ただし、圧力の数値そのものを求めるのでなければ、密度×高さの値へ勝手にPaという単位を付けないでください。この記事の9という中間値は左右の大小をそろえるための比例量です。何を数値化したのかを明示すれば、比の計算と圧力の単位を混ぜずに済みます。