二本のてこがつながった図を見ると、四つの長さをまとめて式に入れたくなります。でも、最初にするのは掛け算ではありません。「この棒を回す中心はどこか」を、一本ずつ決めることです。二段になっても、一本の棒について回転のつり合いを考える手順は変わりません。途中で伝わる力を一つ求めれば、次の棒は見慣れたてこの問題になります。
二つの支点を、一つにまとめない
ここでは、重さを無視できる二本の棒A・Bを、軽い連結棒でつないだ装置を考えます。支点は固定された軸で、棒が浮き上がらないように取り付けられています。棒も連結棒も静止し、摩擦は考えません。腕の長さは支点から力が加わる点までの距離で、棒は水平、加える力は鉛直方向です。
Bの右側にはおもりがつり下がり、Bの左側を連結棒が下向きに押します。右を下げる回転と左を下げる回転が逆向きになるので、二つがつり合います。Aは右側で連結棒を押し下げ、左側を手で上へ引きます。連結棒からAが受ける力は上向きです。Aには左右とも上向きの力が働きますが、支点の左右が違うので回転の向きは反対です。「上向きの力同士だからつり合わない」とはなりません。
つなぎ目の力には、二つの顔がある
Bを押す力を先に求めると、その大きさをAの計算に使えます。ただし、矢印までそのまま写してはいけません。Aが連結棒を下へ押すと、連結棒はAを上へ押し返します。力の大きさが同じでも、どの物体が受ける力かで向きが変わります。図を二枚に分けて「Aが受ける力」「Bが受ける力」を描くと、この取り違えを防げます。
この装置では連結棒の重さを無視し、上下方向でつり合っているため、両端で伝わる力の大きさは等しくなります。連結部に重い部品が付く場合まで、何も考えずに同じと置くことはできません。また、斜めに力が加わる装置では、棒に沿った長さをそのまま掛ける方法は使えない場合があります。この記事は力が棒に垂直な条件に絞っています。
例題1｜おもりに近い棒からさかのぼる
Bの支点から、おもりまでが5cm、連結点までが15cmです。おもりの重力は12Nです。Aの支点から、手を掛ける点までが40cm、連結点までが10cmとします。静止させるために手で上向きに加える力は何Nでしょう。
答え・解説： Bの連結点を押す力をFとすると、F×15＝12×5です。F＝4N。次にAだけを取り出し、手の力をHと置きます。H×40＝4×10なので、H＝1Nです。Bを調べた時点で12Nを4Nに置き換えてから、Aへ進みます。手の力が1Nでも、連結点には4Nが伝わっています。
12×5÷15×10÷40と一行で計算しても結果は同じです。ただし、途中の4Nが何かを説明できることが大切です。数字の順番だけを覚えると、図の左右が入れ替わったときに、長い腕と短い腕を逆に使ってしまいます。Nは力の単位です。問題で「何gのおもりに相当する力」と示される場合も、両辺の力の表し方をそろえて考えます。
例題2｜必要な腕の長さを求める
別の装置で、Bのおもりの重力は18N、おもり側の腕は6cm、連結点側の腕は18cmです。Aの連結点側の腕は8cm。手の力を1.2Nにしたいとき、Aの手を掛ける側の腕を何cmにすればよいでしょう。
答え・解説： 連結点の力は18×6÷18＝6Nです。求める長さを□cmとして、1.2×□＝6×8。したがって□＝40cmになります。最後に1.2×40と6×8が、どちらも48になることを確かめます。手の力を小さくするために、手を掛ける側を長くするという見通しにも合っています。
この例では、Bの18cmをAの腕として使うことはありません。一本の式に登場する二つの長さは、必ず同じ支点から測ったものです。解き終わったら、式の長さに色を付け、対応する棒へ戻してみてください。二段の問題で多い混乱は計算の難しさではなく、別の棒の数字を一緒に扱うことから生まれます。
力が小さくなる分、動かす距離も考える
てこを重ねると小さい力で支えられますが、エネルギーが増えて取り出せる装置になるわけではありません。わずかに動かす場合、長い腕の端ほど大きく動きます。今回の計算は水平な位置での静止条件であり、大きく回転させた後も同じ幾何関係のまま使えるとは限りません。入試の図では、静止の問いなのか、動かす距離の問いなのかを分けて読みましょう。
二本分の図を、頭の中だけで一度に処理する必要はありません。おもり側で一つ、手元側でもう一つ。途中の力を受け渡す順番を作ると、未知数が一つずつ減っていきます。装置が複雑に見えるときほど、一本だけ取り出した小さな図が役立ちます。