旅人算になると、速さを足すのか引くのか分からなくなる。
「出会うときは足す、追いつくときは引く」と覚えることはできます。けれども、図の向きが変わるたびに迷うなら、二人の間で何が起きているかを一度確かめてみてください。
見たいのは、二人の間の距離が、1分間で何m縮まるかです。
向かい合って進むと、両側から距離が縮まる
一本道の900m離れた地点に、AさんとBさんがいます。二人は同時に、互いに向かって歩き始めます。Aさんは分速80m、Bさんは分速70mで、速さは変わらないものとします。
1分後、Aさんは80m、Bさんは70m進んでいます。
二人の間の距離は、両側から80mと70mだけ縮まります。合わせて150mです。残りは900−150＝750mになります。
初めの900mが、1分ごとに150mずつ縮まるので、出会うまでの時間は900÷150＝6分です。
80＋70は、どちらか一人の歩く速さではありません。二人の間の距離が縮まる速さを表しています。
同じ向きなら、前の人も進んでいる
今度は、BさんがAさんより100m前にいます。二人は同時に同じ向きへ歩き始め、Aさんが分速80m、Bさんが分速70mで進みます。道はそのまま続き、途中で止まらないものとします。
1分間で、後ろのAさんは80m進みます。でも、その間に前のBさんも70m進んでいます。
Aさんが近づけたのは、80−70＝10mです。二人の間は100mから90mになります。
100mの差を1分に10mずつ縮めるので、追いつくまで100÷10＝10分かかります。
100÷80としてしまうと、Bさんを止まっているものとして計算しています。割る前に、前の人も動いていることを図へ戻して確かめましょう。
図には、出発時と1分後を描く
最初から長い時間を考える必要はありません。
二人がどこにいて、どちらを向いているか。その下に、1分後の位置を描いてみてください。
向かい合う問題なら、両側から近づいています。同じ向きの問題なら、前の人が進んだ分だけ、後ろの人の進んだ距離をそのまま差の縮まりにできません。
僕は、足すか引くかを言い当てるよりも、「1分後に二人の間は何mになっているか」を説明できることが大事だと思っています。
後ろの人が速くなければ、追いつかない
同じ向きに進む二人が、どちらも分速70mならどうでしょうか。
1分後も、2分後も、二人の間の距離は変わりません。最初に離れていれば、そのままでは追いつきません。
後ろの人が分速60m、前の人が分速70mなら、間の距離は1分ごとに10m広がります。
大きい速さから小さい速さを引けば10になるからといって、必ず追いつくわけではありません。誰が前で、誰が後ろなのかも条件です。
求めた時間を、二人それぞれの動きへ戻す
最初の出会いの問題は6分でした。
Aさんは80×6＝480m、Bさんは70×6＝420m進みます。合計すると900mで、初めに離れていた距離と一致します。
追いつきの問題は10分です。Aさんは800m、Bさんは700m進みます。Aさんが100m多く進んでいるので、最初の100mの差がなくなります。
式で出た時間を、二人の動きに戻す。出会いや追いつきが本当に起きるか、そこまで確かめてください。
旅人算で迷ったら、まず出発時と1分後です。二人の間の距離がどう変わるかを見れば、足し算や引き算の意味が見えてきます。