落下している物体の速さが変わらなくなりました。このとき、下向きの重力がなくなったわけではありません。上向きの抵抗とつり合い、速さを変える原因となる力の差がなくなっています。では、何m毎秒でつり合うのでしょうか。今回は、空気抵抗の表からその値を探します。
中学入試では、まだ習っていない力の関係を資料として与えることがあります。知らない言葉があっても、最初に必要なのは表の縦横を読むことです。重力は一定、抵抗は速さによって変わる。この二つを同じ欄に並べると、途中の変化まで説明できます。
下向きと上向きの二列を作る
物体を静かに放すと、初めは速さが小さいので、空気抵抗も小さいという条件で考えます。下向きの力が大きく、物体は速くなります。速さが増すと抵抗も増え、やがて両者が等しくなる速さに近づきます。この一定の速さを終端速度と呼びます。
ここでは浮力を無視し、下向きの重力を1.6Nとします。Nは力の単位です。速さが2、4、6m毎秒のとき、抵抗がそれぞれ0.4、1.6、3.6Nという表なら、つり合う欄は4m毎秒です。表を読むだけなら、抵抗の詳しい式を知る必要はありません。
表から読めることと、追加の仮定が要ること
4m毎秒でつり合うことと、落とした直後から4m毎秒で動くことは違います。地面までの高さが足りなければ、その速さに十分近づく前に着くかもしれません。高さを4で割って落下時間にするには、その区間を一定の速さで移動したという条件が必要です。
また、表の中間を読むときに、勝手に直線でつないではいけません。この例の抵抗は速さの二乗に比例する値です。2から4に増えると速さは2倍、抵抗は4倍になっています。資料の対応を確認せず「1m毎秒につき同じだけ増える」と計算すると、別の関係を作ってしまいます。
例題1：重力と等しい欄を探す
重力1.6Nの物体について、速さ2、4、6m毎秒に対する空気抵抗は0.4、1.6、3.6Nでした。浮力は無視します。つり合う速さと、速さ2m毎秒のときの下向きの力の差を求めましょう。
答え・解説： つり合う速さは4m毎秒です。2m毎秒では1.6－0.4＝1.2Nだけ下向きが大きくなります。1.2Nは重力そのものではなく、上下の力を差し引いた結果です。この段階ではまだ速くなる方向に変化します。
6m毎秒なら抵抗の方が大きいので、下向きに進んでいるとしても速さを減らす向きの力になります。「力が上向きだから、必ずその瞬間に上昇する」と読み替えないことも大切です。進んでいる向きと、速さを変える力の向きは別に書きましょう。
例題2：同じ形で重力だけを変える
形と面積が同じ二つの物体A、Bでは、同じ速さでの空気抵抗も同じとします。抵抗は速さの二乗に比例し、Aの重力は1.6N、終端速度は4m毎秒です。Bの重力が6.4Nなら、Bの終端速度はいくらですか。
答え・解説： 必要な抵抗は6.4÷1.6＝4倍です。速さを2倍にすると、その二乗は4倍になるので、4×2＝8m毎秒です。重力が4倍だから速さも4倍、とはなりません。16m毎秒にしてしまうと抵抗は16倍となり、条件に合いません。
重いほど速いという言葉だけで終わらせない
二問目では形と面積、空気の条件をそろえました。大きな紙と小さな鉄球の比較では、それらも違っています。重力だけを取り出して同じ規則を当てることはできません。パラシュートを開く場面も、物体の重さより空気を受ける形や広さが大きく変化する場面です。
抵抗が必ず速さの二乗に比例するわけでもありません。液体中をゆっくり動く小さな球などでは、違う関係が使われます。本稿の表を、すべての落下に通用する法則のように覚えないでください。問題に指定された範囲を欄外に書いておくと、余分な知識で条件を壊さずに済みます。
答案には「重力と抵抗が等しいから」と、比較した二つを残します。速さの数値だけが合っていても、理由を「重力がゼロになるから」とすると、力の図と矛盾します。落下の問題は、速さのグラフだけでなく、上下の矢印を一組描くと整理しやすくなります。
抵抗のグラフを横線で読む
横軸を速さ、縦軸を力にしたグラフでは、重力は高さの変わらない横線です。抵抗の曲線と交わる点の横座標が、つり合う速さを表します。物体を重くして重力の線が上へ動けば、同じ抵抗曲線との交点は速い側へ移ります。一方、面積を広げて同じ速さでの抵抗が大きくなれば、曲線自体が上側へ変わります。二つの変更は、グラフ上で動かすものが違うのです。
測定した表にぴったり等しい欄がない場合は、重力より小さい抵抗と大きい抵抗に挟まれた速度範囲までを読み取れます。追加の関係が示されていなければ、その間の正確な値を作らず、どの区間にあるかで答えます。数値が足りない問題でも、分かる範囲を示すことはできます。
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