中学受験理科｜川の次数は合流ごとに増える？｜同じ番号が会う場所をたどる

川の次数は、合流するたびに必ず一つ増える番号ではありません。ストレーラーの方法では、同じ次数どうしが合流したときだけ一つ上がります。違う次数なら、大きい方の番号を引き継ぎます。見た目の川幅ではなく、河川網のつながりを表す数え方です。

この方法の名前を初めて見ても、問題に規則があれば順番にたどれます。支流を持たない端の流路を1とし、上流から下流へ番号を置いていくのが基本です。

足し算の番号ではない

1と1が合流すれば2です。しかし2と1なら3ではなく2のままです。2と2が合流したときに3となります。番号を合計する方法ではないので、川が何本も合流したという見た目だけで大きくしないようにします。

一つの2の川へ、1の支流が順々に三本加わっても、次数は2のままです。水量が増えないという意味ではありません。流量は雨、流域の広さ、流出条件などに左右され、次数は合流の階層を表します。数の意味を切り離すことが大切です。

どの細い水路まで地図に載せるかによって、数え始める端が変わる場合があります。違う縮尺の地図で計算した番号を比べるときには、河川網の描き方をそろえる必要があります。本稿では図にある水路が対象の全てとします。

上から下へ流れる合流図。番号は流量の足し算ではない。

合流点で二本の番号を確認する

河口から上流へ当て推量で戻るより、端の流路へ全て1を入れる方が確実です。合流点に到達した二本の数字がそろってから、下流の番号を決めます。一方の支流の途中が空欄なら、その枝を先に解きます。

枝分かれと合流を混同しないために、水の向きの矢印も確認します。地図の下側が常に下流とは限りません。河口の位置や標高から方向が指定されているなら、その情報を使います。逆向きにたどると、本来の規則を適用する場所が変わってしまいます。

複数の支流がまったく同じ点で会う図は、二本ずつ合流する図より扱いが複雑になります。例題は全て二本ずつの合流です。図の同じ交点に見える線が、実際には少し離れた二つの合流点なのかも、表示された条件を確かめます。

例題1：途中の小さな支流

上流の1と1が合流して川Aになります。Aに別の1の川Bが合流して川Cになります。さらに、別の場所で1と1が合流してできた川DがCへ合流しました。A、C、最後の川の次数を求めてください。

答え・解説： Aは2です。Aの2とBの1が合流したCは2のままです。Dも2なので、最後は2と2の合流で3になります。途中のCを3にしてしまうと、最後が3と2になり、合流の意味まで変わってしまいます。

例題2：4次の川に必要な端の数

二本ずつ合流する河川網で、4次の川を作るには、1次の端の流路が最少で何本必要ですか。途中に小さな支流を余分に足さない場合を考えてください。

答え・解説： 2次に1次が二本、3次に2次が二本必要なので1次は四本です。4次には3次が二本必要で、最少は八本です。番号4から四本と決めず、一つ下の同じ番号を二つ用意する規則で戻します。八本あればどんな合流順でも4次になるわけではありません。

同じ本数でもつながり方で違う

八本の1次流路でも、初めの二本で作った2次へ残りの六本が一本ずつ合流するなら、最後まで2次です。端の数だけが分かっても次数が一意に決まらないことが、この例から分かります。合流図を省いて総本数だけ計算すると情報を失います。

次数の大きな川は一般に多くの上流枝をまとめていますが、番号だけで正確な流量や川幅を求めることはできません。「3次だから2次の1.5倍の水」といった比例は、この規則には含まれません。数字が付いていても、測定量と分類番号を分けて読む必要があります。

同じ次数には同じ色を付けてもよいですが、白黒でも読めるよう番号を残します。合流ごとに「同じだから一つ上」「違うから大きい方」と短く説明すると、複雑な網も一つずつの判断へ分けられます。

川の長さが長くても次数が上がるとは限らない

次数は、上流側の枝分かれの構造を規則で表す数です。長い川であっても、一次の支流ばかりが順に入るなら、二次から三次へは上がりません。三次に上がるには、もう一方にも二次の流れが必要です。川の太さや長さを見た印象で数字を付けず、合流点の直前の二つの値を比較します。大きい方を使う場合と、一つ増やす場合を分けるだけで、複雑な図も上流から処理できます。

四次に必要な一次の枝が最少八本になるのは、二次を作るのに二本、三次を作るのにその二次が二つ、四次には三次が二つ必要だからです。しかし、一次が八本あれば必ず四次になる、という逆の説明は成り立ちません。八本の合流のしかたが偏ると、同じ次数どうしが出会わないまま下流へ進むためです。枝の本数は必要条件を確かめる助けになりますが、配置を読む代わりにはなりません。

途中で一本の川が二本へ分かれてまた合流する網状の流れでは、単純な樹形の図に対する規則をそのまま使うと、上流の枝を二重に数える恐れがあります。入試の模型では、川が下流へ向かって合流するだけなのか、分流も含むのかを確認します。また、次数が同じ二つの川でも流域の雨量が違えば水量は違います。地図の形から決める数と、その日に流れる水の量を区別して読むことが重要です。