中学受験理科｜砂の粒径の中央値｜重さを累積して50％を探す

砂をふるい分けた表から、「この砂の代表的な大きさ」を一つ選ぶ問題を考えます。一番重い区分の網目を答えればよいでしょうか。中央値を求めるなら、最も多い区分を探す操作とは違います。細かい側から重さを積み上げ、全体の半分に達する場所を見ます。

中学入試では、中央値という指標が説明付きで与えられた場合に、その定義を守って読めることが大切です。ここでは粒を一個ずつ数えるのではなく、粒径別の重さを用います。個数基準と重さ基準を混ぜないようにしましょう。

累積50％は、何の半分か

D50という記号を、全体の重さの50％がそれより細かい側にある粒径として定義します。これは「半分の個数の粒が小さい」という意味ではありません。大きな粒一個が、小さな粒多数より重いこともあるからです。

同じ砂でも、粒数で作った分布と、重さで作った分布では中央値が違う場合があります。表の見出しがgなのか、個なのか、％なら何を基準にした％なのかを確認します。50という数字より先に、その半分の対象を言葉へ直してください。

例題1。点間を勝手に直線で結ばず、50％を挟む粒径区分を読みます。

各区分の割合から、累積へ直す

粒径0.25mm未満が10％、0.25mm以上0.5mm未満が20％、0.5mm以上1mm未満が40％、1mm以上が30％という表を考えます。細かい側からの累積は10、30、70、100％です。50％は30から70へ増える区分の中にあります。

したがって中央値は0.5mm以上1mm未満の範囲にあります。区分の中で粒が均等に分かれているかは分からないので、勝手に中央の0.75mmと確定してはいけません。図の線が滑らかに描かれていても、補間の規則が与えられていないなら、分かるのは範囲までです。

最大の区分と中央値は別の読み方

一番重い区分は、分布の山を見つける手がかりです。一方、中央値は細かい側と粗い側を重さで半分に分ける位置です。この例では同じ区分に入りますが、いつもそうなるわけではありません。

粗い側へ少数の非常に重い粒が混ざったとき、重量分布はその影響を強く受けます。粒の見た目の個数だけで「細かいものがほとんど」と言った観察と、重量表の結果が違っても、ただちに矛盾ではありません。何を数え、何を量ったかの違いを検討します。

例題1｜50％を含む区分を探す

200gの試料を四区分に分けました。0.25mm未満が20g、0.25〜0.5mmが40g、0.5〜1mmが80g、1mm以上が60gです。境界の扱いは上の本文と同じとし、重さ基準の中央値が入る区分を答えてください。

答え・解説： 半分は100gです。細かい側から20g、60g、140gと積み上がるので、100gに達するのは0.5mm以上1mm未満の区分です。中央値を0.5mmや1mmと端の値で確定することも、0.75mmとすることも、この表だけではできません。

例題2｜割合の表を二つ混ぜる

同じ基準で、1mm未満の粒が試料A100g中の20％、試料B300g中の60％でした。両方を全部混ぜたとき、1mm未満の粒は全重量の何％ですか。

答え・解説： Aの細かい粒は20g、Bは180gで合計200gです。全体400gに対して200÷400×100＝50％です。20と60の単純平均40％ではありません。試料の重さが異なるため、いったんgへ戻して足し合わせます。

累積曲線の向きも確かめる

「この粒径より小さいものの割合」を描いた曲線は、粒径を大きくするほど増えます。一方、「これより大きいものが残る割合」なら、逆向きに減ります。50％の交点だけを覚えると、ほかの百分位や区分の量を求める際に混乱します。縦軸の説明を読み、何を足しているか確認しましょう。

回収した重さの合計が採取時より少ない場合は、粒がこぼれたり、細かい成分が失われたりした可能性があります。百分率の分母を回収重量にするのか、最初の重量にするのかも資料に従います。測定の不足を、見栄えのよい100％へ無断で直すことはしません。

粒径の中央値は堆積物を比べる便利な指標ですが、運ばれた流れの速さを一意に決めるものではありません。粒の形や供給源なども関係します。まず表から確実に言える区分を答え、地層の解釈はほかの証拠と組み合わせる。この順序で読み進めます。

50％にちょうど達する境界を扱う

累積重量がある網目でちょうど50％となる場合には、資料がその境界をD50として報告する定義かを確認します。区分内に50％がある場合と違って、境界上の値として読み取れる形で示されることがあります。ただし、粗い表で50と丸めた値は、実際には49.6や50.4かもしれません。丸めの情報がない資料から必要以上に精密な粒径を作らないようにします。中央値という名が付けばどんな表でも一点が求まるわけではありません。区分の幅、測定された割合の桁、補間方法によって、答えられる細かさは変わります。