同じ液体に二つの小さな球を沈めると、大きな球の方が早く下へ進みました。重さが違うから、と答える前に、球の半径、材質、液体の粘りを分けてみましょう。液体中の運動では、球が押しのける液体から受ける浮力と、動くときの抵抗も関わります。
今回は「同じ材質の小さな球が、十分にゆっくり、一定の速さで沈む」という資料問題です。沈む速さは球の半径の二乗に比例し、液体の粘りを表す値に反比例すると指定します。中学入試の発展的な題材として、式の名前より、何を変え何をそろえるかを読み取る練習をします。
半径だけを変えるとき
半径が1mmから2mmになったら、半径の比は2です。指定した規則では速さの比は2×2＝4です。球の体積は8倍になりますが、その8を速さへそのまま移してはいけません。球が受ける抵抗の変化も含めた結果が、資料に示された半径の二乗の関係だからです。
直径が書かれていても、同じ種類の長さ同士で比べれば倍率は同じです。ただし、片方は半径、もう片方は直径という読み違いには注意してください。寸法の図に中心からの線なのか、端から端までの線なのかを書き込むと確認できます。
粘りだけを変えるとき
同じ球を別の液体へ移し、液体の粘りを表す値が2倍になれば、速さは半分という指定です。ただし、球と液体の密度差も速さに関係します。この比較では液体の密度が同じで、粘りだけが違うという条件を置きます。水と油を見た目で選んで、そのままこの計算に使うことはできません。
「とろとろしている」「重そう」という感想から、密度と粘りを一つにまとめないことが大切です。同じ体積の質量を調べるのが密度の比較で、流れにくさに関わる量が粘性です。それぞれ別の実験や測定で表します。
例題1：球の大きさを二倍にする
ある液体中で、半径1mmの球は毎秒2mmの一定の速さで沈みました。同じ材質の半径2mmの球も、上の規則が成立する範囲で沈むとします。その速さと、一定速度で80mm進む時間を求めましょう。
答え・解説： 速さは2×2×2＝8mm毎秒です。80mm進む時間は80÷8＝10秒です。最初の2は基準の速さ、後の二つの2は半径の倍率を二回掛けたものです。数字が同じでも役割を書き分けましょう。
この10秒には、球を放してから一定速度に近づくまでの時間を含めていません。実際に測るなら、落下を始めた直後の区間を避け、筒の途中に二本の目印を付けます。目印の間の距離を通過時間で割り、同じ区間で比較する計画にします。
例題2：半径と粘りが同時に変わる
基準の球は半径1mm、速さ2mm毎秒です。半径を3mmにし、液体の粘りを表す値を基準の3倍にしました。密度差など他の条件は同じで、指定の規則が成立するものとします。新しい速さはいくらですか。
答え・解説： 半径の変化で9倍、粘りの変化で3分の1です。2×3×3÷3＝6mm毎秒となります。半径も粘りも3倍だから変化なし、と相殺してはいけません。半径は二乗、粘りはそのまま分母に入るからです。
筒の太さや球の間隔にも意味がある
細すぎる容器では壁の影響を無視しにくくなります。また、球をたくさん一緒に落とすと互いのまわりの流れが影響する場合があります。液体をかき混ぜた直後も、液全体の流れが球の動きに重なります。球の速さだけを比較するには、容器と待ち時間をそろえる必要があります。
温度も記録しましょう。温めると粘りが変わる液体は多いですが、その倍率は種類によって異なります。「10℃上がれば必ず半分」といった決まりを作ってはいけません。粘りの実測値や、問題文で指定された比を使います。
この関係は、粒が大きく速く動く場合まで無条件に広げられません。半径を何十倍にもした数値を機械的に計算する前に、適用範囲を確かめます。砂が水中で分かれて沈む現象を考える手掛かりにはなりますが、実際の砂粒は球形とも同じ密度とも限りません。モデルで分かる部分と、粒の形を別に調べる部分を分けて説明できると、実験の考察が具体的になります。
沈む球を液体の比較に使うには
同じ球が液体Pでは20mmを5秒、Qでは20mmを10秒で進むなら、速さはPが二倍です。密度差も同じという条件を置けば、Qの粘りを表す値はPの二倍と推定できます。ここでも時間の長さを、速さと同じ向きの倍率にしないでください。
球を変えずに液体を替える測定と、液体を変えずに球を替える測定を並べると、どの要素の影響を調べているかが明確になります。一度に球の材質まで替えると、半径の効果と密度差の効果を分離できません。表の上に「固定：球の材質」「変更：半径」と書く程度でも、比較する行を選ぶ助けになります。測定器として使うには、基準となる液体で同じ装置を確かめることも重要です。