中学受験理科｜川の濃さから流量を逆算する｜目印の物質と背景濃度

川の断面積と平均流速を測ると、流量を求められます。では、流れが複雑で断面を測りにくいときはどうでしょうか。別の方法として、一定量の目印の物質を含む液が混ざった後、どれだけ薄まったかを調べる考え方があります。

これはトレーサー希釈法と呼ばれる測定の考え方です。この記事は、管理された測定の資料を読むための収支模型を扱います。実際の川へ物質を入れる実験を勧めるものではありません。架空の値から、水量と物質量の関係を逆向きにたどります。

薄まるほど、混ぜる相手の水量が多い

同じ濃さの液を同じ流量で混ぜても、川の流量が大きければ、混合後の濃度は低くなります。目印の物質が消えたから薄くなるのではなく、多くの川の水に分かれるからです。まず単位時間に入る物質量を求め、それがどの水量へ分かれたかを考えます。

濃度にはmg/L、流量にはL/秒を使います。この二つを掛けるとmg/秒となり、一秒当たりに流れる物質の重さになります。濃度どうしを足すのではなく、物質量をそろえてから収支を立てることが重要です。

例題1。追加液の体積も出口の水量に含まれます。完全混合・濃度一定・損失なしの架空資料です。

川には目印の物質が含まれていません。濃度100mg/Lの液を毎秒2Lで一定に加え、十分下流で完全に混ざった濃度を調べると4mg/Lでした。途中に別の流入や流出、物質の損失はなく、流量は一定です。加える前の川の流量を求めなさい。

答え・解説： 加える物質は100×2＝200mg/秒です。これが4mg/Lになるので、混合後の全流量は200÷4＝50L/秒です。この中には加えた液2L/秒も含まれるため、元の川は50－2＝48L/秒です。

50L/秒をそのまま答えると、問われた地点を取り違えます。川へ液を加える前と後では、水量そのものが違います。図の矢印に、元の川、追加の液、混合後の三つを書き分けてください。

液を加え始めた直後、下流の観測点へはまだ届いていないことがあります。到着後も混ざり方が安定するまでは、濃度が時間とともに変わります。上の計算は、一定の供給が続き、観測点で濃度が安定した区間を使う条件です。

一瞬だけ濃い値が出た時刻を選んで、同じ式へ入れるのは適切ではありません。また川幅の一部にしか目印が届いていなければ、岸の一点の濃度が断面全体を代表しないこともあります。測定値が何を代表するかまでが、計算の前提です。

実際の測定では、目印に使う成分が初めから水に含まれている場合があります。この背景濃度を0と決めつけると、追加した液による分と、川が運んできた分が混ざります。入口が二つあるので、両方の物質量を足す必要があります。

ただし、中学入試で未知数の式を使わなくても、混合後の濃度からの差で考えられます。濃い方の液が余分に持ち込む物質を、薄い方の川の不足分が受け取る、と見る方法です。割合の混合問題と同じ構造になります。

元の川の濃度は1mg/Lです。101mg/Lの液を毎秒1L加えたところ、混合後の濃度が3mg/Lで安定しました。例題1と同じ保存条件で、元の川の流量を求めなさい。

答え・解説： 追加液1Lは、混合後の3mg/Lを基準にすると101－3＝98mg余分な物質を持っています。川の水1Lは1mgから3mgへ増えるので、2mgずつ受け取ります。98÷2＝49Lが元の川の毎秒の量です。

検算すると、物質は川の49×1＝49mg/秒と、追加液の101×1＝101mg/秒で合計150mg/秒です。水量は49＋1＝50L/秒。150÷50＝3mg/Lで一致します。背景濃度を無視して101÷3と計算すると、この収支を満たしません。

目印が観測点へ届くまでの時間は、移動や混ざり方の情報です。一方、安定した濃度から求める今回の流量は、一秒に通る水の体積です。速く届いたというだけで、川の流量が多いとは断定できません。細い流れでも速く動くことはあります。

また、目印が川底へ吸着したり、反応して別の物になったりすると、出口の物質量が入口と等しくなくなります。濃度の低下をすべて水量による希釈とみなせないため、推定がずれます。保存される目印であることは、便利な付け足しではなく測定の中心条件です。

L/分とL/秒が混在していれば、まず同じ時間へ直します。濃度がmg/Lなら、物質の量はmg/秒またはmg/分で統一します。数字だけを掛けると、60倍違う値でも見た目では気づきにくくなります。

答えが出たら、入口から一秒に入る水量と物質量をそれぞれ合計し、出口の濃度へ戻してください。断面積から求める方法と違って見えても、結局は「何が、どれだけ通ったか」をそろえる問題です。未知の測定法でも、与えられた保存条件を図へ落とせば考えられます。