電熱器のスイッチを、一定の間隔で入れたり切ったりします。一回に流れる電流の強さを変えなくても、入れている時間が短ければ、長い時間を通して発生する熱は少なくなります。「電流が同じだから熱も同じ」と判断せず、電流が流れていた時間を数える問題です。中学入試では、横軸が時間の四角い波形として示されることがあります。
山の高さと山の幅
波形の高い部分はスイッチが入っている時間、低い部分は切れている時間です。山の高さが電力を表すなら、その高さと通電時間を掛けたものが、その区間に使った電気のエネルギーになります。波形が電圧や電流を表している場合は、高さをそのまま電力として使えません。まず縦軸の名称を読んでください。
ここでは通電中の電力が一定の12W、切れている間が0Wの模型を考えます。1Wは一秒あたり1Jのエネルギーを使うことを表すので、12Wで二秒間通電すれば24Jです。単位に初めて出会っても、この関係が問題文に与えられていれば、比例の計算で扱えます。
一周期のうち何割か
スイッチを入れてから次に入れるまでのひとまとまりを周期とします。一周期五秒のうち二秒だけ入れるなら、通電の割合は五分の二です。長い時間を平均した電力は、12Wの五分の二で4.8Wになります。これは常に4.8Wで動いているという意味ではありません。実際には12Wと0Wを繰り返しており、その合計を経過時間で割った値です。
この区別は温度を考えるときにも役立ちます。平均電力が同じ装置でも、短い間隔で切り替える場合と、長く加熱して長く休む場合では、温度の振れ方が同じとは限りません。物の熱のたまりやすさや、周囲へ逃げる熱も関係します。エネルギーの合計が等しいことから、途中の温度まで一致すると決めつけないようにします。
例題1｜一分間の電力量
12Wの電熱器を、二秒入れて三秒切る操作で一分間動かします。最初はスイッチを入れるところから始めます。使う電気のエネルギーは何Jですか。
答え・解説：288Jです。 一周期は2＋3で五秒なので、一分間には12周期あります。通電時間は2×12で24秒です。12W×24秒で288Jになります。12W×60秒は一分間ずっと入れた場合の値です。電力の平均4.8Wに60秒を掛けても、同じ288Jになります。
例題2｜半端な時間で止める
同じ操作を、通電開始から13秒後に止めます。使うエネルギーは何Jでしょうか。一周期の平均を13秒に掛けるだけで求められますか。
答え・解説：72Jで、平均を単純に掛ける方法は使えません。 最初の十秒で二周期が終わり、通電は合計四秒です。その後の三秒は、二秒の通電と一秒の停止に分かれます。通電時間は全部で六秒なので12×6で72Jです。4.8×13の62.4Jと違うのは、最後の半端な区間で通電する割合が、丸一周期の割合と異なるためです。
小数より先に時間の帯を描く
二秒ごとの印と五秒ごとの印を、同じ時刻の帯に書いてみましょう。0〜2秒、5〜7秒、10〜12秒が通電です。13秒で切る印を重ねれば、最後の一秒が停止中だと目で確認できます。繰り返しの計算が得意でも、端の区間を数え落とすことがあります。周期の数を割り算で求めた後に、余りの時間の中身を調べるのが順番です。
二つの設定を比べる場合、周期そのものが同じでなくても、通電の割合が同じなら、整数周期にそろえた長時間の平均電力は等しくなります。例えば一秒入れて一秒切る場合と、三秒入れて三秒切る場合はいずれも半分です。ただし測定を止める時刻によって端のずれが生じるため、比較時間もそろえます。
実験結果として水温が与えられたら、使った電力量と水が受け取った熱量は別の欄へ書きます。容器が温まる分や外へ逃げる分があるためです。今回求めた通電時間は、その先の熱量計算の出発点になります。最初から温度上昇を通電割合と同じ倍率だと決めず、熱の行き先まで問題の条件をつないでください。
波の数だけを数えると見落とすこと
同じ一分間にスイッチを入れた回数が十回でも、一回の通電が一秒と二秒では合計の通電時間が違います。回数を二倍にしたら発熱も二倍、と言うためには、一回の長さと通電中の電力がそろっていなければなりません。波形の山の本数だけでなく、横幅も読み取ってください。細い山が多数ある波と太い山が少数ある波で、面積が同じになることもあります。
逆に、電力の縦軸が12Wから24Wへ変われば、同じ通電時間でもエネルギーは二倍です。問題の図で山の高さが同じように描かれていても、目盛りが変更されていないかを確かめます。二枚のグラフを重ねて比べるなら、時間軸と電力軸の尺度を両方統一する必要があります。
13秒の例で使った72Jを、その13秒で割ると、この観測区間の平均電力は約5.54Wになります。一周期の4.8Wと異なるのは矛盾ではありません。平均を求めた時間の範囲が違うからです。平均という語を見たら、何秒間の合計を何秒で割った値なのかまで書き添えると、端数区間の意味を説明できます。
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